2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高一上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高一上学期12月联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定，再计算交集得到答案.
【详解】，则，
，.
故选：B.
2．若，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取特殊值结合对数函数的单调性判定充分性及必要性即可.
【详解】对于充分性：取，，则，，
所以“”不是“”的充分条件；
对于必要性：当时，，所以，即，
所以“”是“”的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：C．
3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，
∴要使函数有意义，
则有，解得，
∴，即函数的定义域为.
故选：D.
4．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可.
【详解】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增，
则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：D.
5．当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为50分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据解析式分别求出对应声音强度，然后可得比值.
【详解】记该挖掘机与普通室内谈话的声音强度分别为，
由题知，，
解得，
所以.
故选：D
6．定义在上的奇函数，其图像关于点对称，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得，又，即可得到，从而得到是周期为的周期函数，再根据函数在上的单调性，得到函数在上的单调性，即可比较大小.
【详解】根据题意，为奇函数且在上单调递增，则在上为增函数，
故在上为增函数，
又为奇函数，则，
而的图象关于点对称，则，
则有，即，即函数是周期为的周期函数，
故，，，则有．
故选：A．
7．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数与对数函数性质求得，然后妙用“1”可得.
【详解】当时，，
所以，函数过定点，得，
所以，，
因为，，
所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为8.
故选：B
8．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将转化为，从而得到函数为增函数，再结合将所求不等式转化为，进而根据单调性求解即可.
【详解】可转化为，不妨设，则，∴.
令，由单调性定义可知，为上的增函数.
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴，
∴，即x的取值范围为.
故选：B.
二、多选题
9．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】BCD
【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，
故不是同一个函数；
对于B，由得，即的定义域为，
由得，即的定义域为，
结合，故是同一函数；
对于C，因为与的定义域、解析式相同，故是同一函数；
对于D，因为与（恒成立）的定义域、解析式相同，故是同一函数；
故选：BCD.
10．已知正数a，b满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，求出的范围并结合均值不等式判断AB；利用不等式性质推理判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，由，，得，
即，而，则，故A正确；
对于B，显然，当且仅当时取等号，
则，故B错误；
对于C，由，得，即，于是，
同理，则，C正确；
对于D，取，，则满足，，
此时，故D错误.
故选：AC.
11．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在上单调递增
D．在上单调递增
【答案】AC
【分析】根据奇偶性定义可判断AB；根据复合函数单调性可判断CD.
【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以，，
所以和均为偶函数，A正确，B错误；
又因为，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，
故C正确，D错误.
故选：AC
12．已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】BC
【分析】作出函数的图象如图，借助图象分析，将问题转化为在内有两个不相等的实数根，然后由二次函数性质可解.
【详解】作出函数的图象如图，
令，由图可知，当时，有3个不相等的实数根，
又方程恰有6个不相等的实数根，
所以在内有两个不相等的实数根，
记，则，
解得.
故选：BC
【点睛】本题难点在于利用图象分析零点个数，将问题转化为二次函数根的分布问题，然后利用二次函数图象与性质即可求解.
三、填空题
13．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由命题的否定为真命题，结合一元二次不等式恒成立有，即可求得.
【详解】命题“，使得”是假命题，
则“，使得”是真命题，
则，解得，所以的取值范围是.
故答案为：.
14．若偶函数满足，当时，，则 ．
【答案】
【分析】先根据周期函数的定义，由得出是函数的一个周期；再利用周期、偶函数和题中解析式即可求解.
【详解】因为，所以
则，
即是函数的一个周期.
因为函数为偶函数，所以.
所以.
故答案为：
15．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济.
【答案】乙
【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为，每次购n，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x，若按第二种策略，设每次花钱m元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y，利用作差法，即可比较x，y的大小，进而可求得答案.
【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为，
按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格，
按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品，
两次购物的平均价格，
比较两次购物的平均价格 ，
因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，
故答案为：乙.
16．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ．
【答案】1
【分析】将所给函数分离常数，根据奇偶性，可求得M+N=2，代入所求关系式即可.
【详解】由题意知，，
设，则，
因为，
所以为奇函数，
所以在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以．
故答案为：1.
四、解答题
17．（1）;
（2）.
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）根据对数运算公式求解.
（2）根据对数运算与指数运算公式求解.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用换元法转化为二次函数在给定区间的值域问题求解；
（2）结合基本不等式求解即可．
（3）由解析式求函数的定义域，将函数转化为方程，即方程在上有解，结合判别式即可求值域；
【详解】（1）设，则，且，
所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为.
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故函数的值域为.
（3）由知，
整理得.
当时，方程无解；
当时，，即.
故所求函数的值域为.
19．已知是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并判断和利用函数单调性的定义证明在上的单调性
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，增函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）由可得，然后取值、作差、化简、定号即可证明；
（2）利用单调性和奇偶性去函数符号，然后令，参变分离，由二次函数性质可得.
【详解】（1）∵是上的奇函数，
∴对任意，有，即，
即，对任意恒成立，
∴，即.
为上的增函数，证明如下：
任取，且，
，
∵，∴，，
∴，即，
所以函数为上的增函数.
（2）不等式在上恒成立，
∴，
又为上的增函数，
∴在上恒成立，
即，令，，
上式等价于对恒成立，
即，令，只需即可，
又，开口向下，对称轴为，，
∴，∴.
所以实数的取值范围为.
20．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．

(1)试求的函数关系式；
(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
【答案】(1)
(2)老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳，理由见解析
【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，从而得解；
（2）分，，由求解即可.
【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得，．
又当时，曲线是函数(且)图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，．
则.
（2）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当时，令，
解得：.
当时，令，
解得：.
综上可得，.
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
21．已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)为上的减函数；
(3)
【分析】（1）令，求得，再令，从而得，从而证明求解.
（2）设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值.
（3）根据函数对所有的，恒成立，说明的最大值小于右边，因此先将右边看作的函数，解不等式组，即可得出的取值范围．
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
令，则，所以，
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为.
（3）由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故的取值范围为.
22．已知函数为偶函数.
(1)求t的值；
(2)求的最小值；
(3)若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用偶函数的定义和对数的运算性质，结合恒等式的性质可得所求值；
（2）运用对数运算性质及均值不等式即可得到结果；
（3）先证明函数的单调性，化抽象不等式为具体不等式，转求函数的最值即可.
【详解】（1）因为为偶函数，
所以，则，
所以，即恒成立，
因为不恒为，所以，故.
（2）由（1）得，
，
因为，则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，故最小值为.
（3）因为，
任取且，
所以，
因为且，所以，
所以，即，
所以，则在上为增函数，
又因为为偶函数，，
所以，
当时，恒成立，则；
当时，，所以，
设，
当且仅当，即时，等号成立，
由复合函数的单调性易得在上单调递增，
且当时，，当时，，
所以有解，即有解，所以等号能成立，
所以，故，则；
综上，.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是利用函数单调性的定义证得在上为增函数，结合的奇偶性将问题转化为，从而得解.