2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期第三次考试（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期第三次考试（12月）数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则集合的子集有（ ）
A．2个B．4个C．8个D．16个
【答案】C
【分析】先求出集合，再由交集和子集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以集合的子集为个.
故选：C.
2．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用对数运算公式化简，将、化为根式，由三角函数诱导公式可计算b的值，进而可判断三者大小.
【详解】因为，，，
又在上单调递增，所以，
所以.
故选：D.
3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，结合及计算即可.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故选：C.
4．已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别分析与的单调性及恒过的定点即可判断.
【详解】因为，所以在上单调递增，
又定义域为，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过，
故选：A.
5．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（ ）
A．320B．352
C．704D．1408
【答案】C
【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可.
【详解】设扇环的圆心角为，小扇形的半径为，如图所示，
则，
所以.
故选：C.
6．函数满足，则函数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由可得，运用解方程组法求解析式即可.
【详解】因为①，所以②，
得，即.
故选：B.
7．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用分段函数在上单调递增可知，在上单调递增，且在上单调递增，且.
【详解】由题意知，，
故选：D.
8．若实数，，满足，则下列不等关系不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知可得， 作出函数图象，结合图象即可判断.
【详解】由题意知，，所以，
设（），
在同一坐标系中作出函数，，（），（），如图所示，
当平移（）时，由图可得，，的大小关系可能为，，，，，，，
故B项、C项、D项正确，A项不可能成立.
故选：A.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．若，则
C．的单调减区间为
D．是的必要不充分条件
【答案】BD
【分析】对A，运用否定的定义即可得；对B，可得，结合不等式性质即可得；对C，单调区间不能用并起来，对D，结合充分不必要条件的定义验证即可.
【详解】对A：命题“”的否定是“”，故错误；
对B：由，，故，即，故正确；
对C：单调区间不能用并集符号，故错误；
对D：若，可能，若，则成立，
故是的必要不充分条件，故正确.
故选：BD.
10．已知，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】运用指数幂运算公式及对数运算公式计算即可.
【详解】对于A项，因为（，），所以，即，故A项正确；
对于B项，由A项知，所以，故B项正确；
对于C项，由A项知，所以，又，所以不一定成立，故C项不成立；
对于D项，由A项知，所以，故D项正确.
故选：ABD.
11．已知函数不过原点，且对，满足则下列结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．若，则D．
【答案】AD
【分析】令、、代入关系式判断A、C、D；令，结合奇偶性定义判断B.
【详解】A：令，则，又不过原点，即，可得，对；
B：令，则，结合A结论知：，为偶函数，错；
C：令，则，故，错；
D：令，则，故，对.
故选：AD
12．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域是
B．任意且，都有
C．任意且，都有
D．规定，其中，则
【答案】BCD
【分析】根据函数奇偶性和单调性判断AB；作出函数的图象，结合图形即可判断C；根据递推公式可得的表达式即可判断D.
【详解】A：，则为奇函数，
当时，，当时，，
故函数的值域为，故A错误；
B：，则为奇函数，
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故函数在R上单调递增，故B正确；
C：作出函数的图象，如图，
由图可知，函数上为上凹函数，
则对于，设，
则为图中A点对应函数值，为图中B点对应函数值，
所以，故C正确；
D：由，
得，，
，
所以，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】运用整体思想，可得，结合与三角函数基本关系计算即可得.
【详解】，
由，故，故，
即.
故答案为：.
14．函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据不等式，结合幂函数的单调性建立不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知，幂函数在上单调递减，
由，得，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：
15．已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】将变为，由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为正实数满足，所以，
而，
所以
，
当且仅当且，即时取等，
故答案为：5.
16．有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是 ；
（2） ．
【答案】 3033
【分析】根据函数解析式，得到，令，判断其是奇函数，结合题中条件，即可得出结果；由解析式，先得到，推出所求式子等价于，即可得出结果.
【详解】由得，
令，则，
即为奇函数；由题中命题可得，函数的对称中心是；
由得，
则；
所以.
故答案为：；3033.
四、解答题
17．已知，集合，函数的定义域为．
(1)若，求的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式及分式不等式可得集合A与集合B，由列式即可.
（2）由题意知是的真子集，结合集合的包含关系列式即可.
【详解】（1），
令，即，
因为，
所以或，解得或，即.
（2）由A项知，，，
由题知是的真子集，故，即.
18．已知．求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)-1
(2)7
【分析】（1）根据诱导公式和切弦互化，即可求解；
（2）由公式，将原式补上分母“1”，再利用切弦互化，即可求解.
【详解】（1）
因为，所以原式；
（2）
因为，所以原式
19．已知函数．
(1)若，求的单调区间及值域；
(2)若的定义域为，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为
(2)
【分析】（1）求出函数定义域，结合复合函数单调性可求得其单调区间，根据单调性可求得其值域.
（2）将问题转化为对任意恒成立，分别研究、时不等式的解集为即可.
【详解】（1）当时，，
令，解得，故函数定义域为，
则令（），
故在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递减，
由复合函数单调性可知的单调递增区间为，单调递减区间为，
在处取到最小值，所以值域为.
（2）因为的定义域为，所以对任意恒成立，
①当时，不等式变为，解集为，符合题意，
②当时，，
综述，的取值范围是.
20．去年8月份，盐城环保科技城发布了《江苏盐城环保科技城零碳示范园区发展总体规划》，从土地利用、产业功能、能源、交通、建筑、社区、生态环境等多个方面谋篇布局，助力产业集群加速向低碳、绿色方向高质量发展转型.为了助力绿色发展，某企业引进一个把垃圾加工处理为某化工产品的项目.已知该企业日加工处理垃圾量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理垃圾量x之间的函数关系可近似的表示为且每加工处理1吨垃圾得到的化工产品售价为55元．
(1)该企业日加工处理垃圾量为多少吨时，日加工处理每吨垃圾的平均成本最低？此时该企业日加工处理垃圾处于亏损状态还是盈利状态？
(2)为了使该企业可持续发展，盐城市政府决定对该企业进行财政补贴，要求企业从以下两种方案中选择其中的一种．
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为1150元；
方案二：根据日加工处理垃圾量x进行财政补贴，金额为15x元．
如果你是企业的决策者，从企业获得最大利润的角度考虑，你会选择哪种补贴方案？
【答案】(1)80吨，亏损状态
(2)应选择方案二．
【分析】（1）求出，结合基本不等式求解即可.
（2）分别计算，，与，时两个函数的最大值比较即可.
【详解】（1）由题意可知，日加工处理每吨垃圾的平均成本为
，
又，当且仅当，即时等号成立，
所以该企业日加工处理垃圾量为80吨时，日加工处理每吨垃圾的平均成本最低.
因为，所以此时该企业日加工处理垃圾处于亏损状态．
（2）若该企业采用方案一，设该企业每日获利为元，
由题可得，，
所以当时，企业获利最大，最大利润为775元．
若该企业采用方案二，设该企业每日获利为元，
由题可得，，
所以当时，企业获利最大，最大利润为900元．
因为，所以应选择方案二．
21．已知函数，函数的图象经过点．
(1)若，求函数的最大值；
(2)若对，且，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解可得，求出，化简函数可得（），结合二次函数单调性即可求得最大值.
（2）将变形为，构造，分别研究、、时在上的单调性即可得到答案.
【详解】（1）因为，所以，解得，
又因为（且）经过点，所以，解得，
所以，
所以（），
又因为在上单调递增，
所以当时，取得最大值为．
（2）因为且，不妨设，则
所以，
设，则在上单调递增，
，
①当时，在单调递减，不成立，
②当时，函数的对称轴为，
因为在上单调递增，
所以，解得，
③当时，，解得，
综上，.
22．函数(a为实常数)
（1）若求的单调区间
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a的表达式；
（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）f（x）的单调增区间为（），（，0）； f（x）的单调减区间为（），（）.（2）.（3）.
【分析】（1）由a＝1，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可．
（2）根据对称轴分类讨论，分别求得f（x）在三种情况下的最小值，最后写成分段函数形式；
（3）由单调性的定义将问题转化为ax1x2﹣（2a﹣1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]都成立，
分类说明即可．
【详解】（1）a＝1，f（x）＝x2﹣|x|+1，
∴f（x）的单调增区间为（），（，0）；
f（x）的单调减区间为（），（）.
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，
①若，即，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）＝f（1）＝3a﹣2
②若，即时，
③若，即时，f（x）在[1，2]上是减函数：
g（a）＝f（2）＝6a﹣3．
综上可得.
（3）在区间[1，2]上任取x1、x2，
则
（*）,
∵h（x）在[1，2]上是增函数,
∴h（x2）﹣h（x1）＞0,
∴（*）可转化为ax1x2﹣（2a﹣1）＞0对任意x1、x2∈[1，2] 都成立，
且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a﹣1,
①当a＝0时，上式显然成立;
②a＞0，，由1＜x1x2＜4得，解得0＜a≤1;
③a＜0，，由1＜x1x2＜4得，，得;
所以实数a的取值范围是.
【点睛】本题主要考查分段函数的单调区间的求解方法，考查求其最值的方法：每一段求出其最值，各段中最大的为最大值，最小的为最小值，考查了单调性的定义的应用，属于基础题.