2023-2024学年江西省“三新”协同教研共同体高一上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省“三新”协同教研共同体高一上学期12月联考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，计算题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求解出集合,再进行交并补运算即可.
【详解】，，，.
故选：C
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数解析式，列出不等式组求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B
3．已知命题：指数函数是减函数，命题，则是的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先由指数函数的性质化简命题，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】命题：指数函数是减函数，则，解得，
即：，
所以可以推出，充分性成立；
推不出，必要性不成立；
故是的充分不必要条件.
故选：B
4．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质进行判断.
【详解】A选项，当时不符合；
B选项，当，时不符合；
C选项，当，，，时不符合；
D选项，由得，又，可得.
故选：D
5．已知函数，当时，的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得其对称轴为，最大值为，再利用二次函数的性质从而求解.
【详解】，图象的对称轴为直线，且最大值为.
令，即，解之得或.
又因为的值域为，所以.故D项正确.
故选：D.
6．已知，，且满足，则的最小值为（ ）
A．9B．C．8D．
【答案】A
【分析】将原式合理变形，利用‘1’的代换，结合基本不等式运算即可.
【详解】由，得，，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A
7．黎曼函数：定义在上，，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意知的周期为4，运用周期的性质奇函数性质计算即可.
【详解】由题知的周期为4.
又函数为奇函数，所以.
故选：C.
8．已知函数，，若对任意的，，当时，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先对给定不等式进行等价转化，通过构造函数，利用函数的单调性求得参数范围.
【详解】由题意可设，由，得，
则，所以(*).
构造函数
由（*）知，，则在上单调递减.
作出函数的图象，如图，易知函数在上递减，在上递增，
故可得.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数和利用函数单调性解决抽象不等式恒成立问题.
首先通过代入函数，将给定不等式进行转化成左右两边相同的结构，从而构造出函数，结合自变量与函数值大小关系得出在给定区间上的单调性；接着对构造的函数进行单调性探究，从而求得参数的范围.
二、多选题
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据根式的性质及分数指数幂的运算性质计算可得.
【详解】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，由题可得，所以，故B正确；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，，，故D错误.
故选：AB
10．已知函数，实数m，n满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用函数的图像性质得到二者间的大小关系判断选项AB；利用均值定理求得的取值范围判断选项CD.
【详解】的图象如下，
可知，.
由，得，故A正确，B错误；
由，
可得，则，
故C正确，D错误.
故选：AC
11．已知二次函数，，有，则的图象不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】先设，再利用题给条件求得参数满足的限制条件，进而得到的图象不可能的选项.
【详解】设，由，
可得，
化简可得在上恒成立，
所以，解之得，
则二次函数的图像开口向下，y轴截距为正值.
故ACD选项不可能.
故选：ACD
12．已知定义在R上的函数满足，，有，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上的值域为
B．为减函数
C．的图象关于点对称
D．不等式在R上恒成立，则
【答案】AC
【分析】求得在上的值域判断选项A；求得的单调性判断选项B；求得的图象的对称中心判断选项C；求得不等式在R上恒成立时a的取值范围判断选项D.
【详解】在R上任取，且，则
.
因为，所以，
即，则，所以在上为增函数.
则选项B判断错误；
令，，可得，则，
令，，可得，
令，，可得，
故在上的值域为.选项A判断正确；
令，可得，故的图象关于点对称.
则选项C判断正确；
由，可得，
又，则，
所以在上恒成立，
则，解得.
则选项D判断错误.
故选：AC
三、单空题
13．集合的非空真子集的个数为 .
【答案】30
【分析】求出集合，然后结合由集合中元素个数求解非空真子集，从而求解.
【详解】由题意知：等价于，所以
解得，则，所以集合中有个元素
所以集合的非空真子集的个数为.
故答案为：.
14． .
【答案】
【分析】根据指数，对数的运算即可求解.
【详解】原式
故答案为：.
15．已知幂函数的图象过点，则函数的值域为 .
【答案】
【分析】先求得幂函数的解析式，再利用指数函数的单调性和换元法即可求得函数的值域.
【详解】设幂函数，则，解之得，
则，则
令，则，令
在单调递减，在单调递增，
则，
则，则.
则函数的值域为.
故答案为：
16．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】//
【分析】将已知条件的绝对值不等式去绝对值，转化为，整理得先求使在上恒成立的的取值范围，再求的最小值大于等于0即可.
【详解】由，得，
即
令，当不等式在上恒成立时，
即在上的最大值小于等于0，
的图象开口方向向上，在或处取得最大值，
解得，
此时，所以的取值范围是.
故答案为：.
四、计算题
17．已知集合，，.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先化简集合A，再利用题给逻辑关系条件即可求得实数的取值范围；
（2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】（1），.
“”是“”的充分条件，，.
则实数的取值范围为；
（2），.
又，.
当，即时，，满足；
当时，，由可得
.
综上，实数的取值范围是或.
五、问答题
18．某超市准备在今年元旦假期开展促销活动，该超市的营销部分析了去年的销售额与广告宣传费之间的关系，发现超市的利润（单位：万元）与广告宣传费（单位：万元）的关系近似如下：当时，是的幂函数；当时，是的二次函数.具体数据如下表（部分）：
(1)求关于的函数关系式；
(2)请根据去年超市的利润与广告宣传费之间的函数关系，估算今年的广告宣传费投入多少万元，超市的利润最大.
【答案】(1)；
(2)当广告宣传费投入3万元时，超市的利润最大.
【分析】（1）利用表格数据，根据题设设函数解析式，通过待定系数法计算即得；
（2）根据（1）中求出的分段函数解析式，分段考虑每段上的最大值，比较即得.
【详解】（1）当时，可设,由表知，，；
当时，可设，分别代入三组值，得：
解得.
综上可得：.
（2）当时，函数单调递增，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，.
又，当广告宣传费投入3万元时，超市的利润最大.
六、证明题
19．（1）已知，，，且满足，求证：.
（2）若，，且满足，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【分析】（1）利用对数换底公式和对数运算性质即可证得成立；
（2）利用函数零点的性质和互为反函数的两函数图像间关系即可求得的值.
【详解】令，
，，，
，.
，.
（2）
方程的根是的图象与交点的横坐标，
方程的根是的图象与交点的横坐标.
又的图象与的图象关于直线对称，
由解得
点与点关于点对称，所以.
七、问答题
20．已知函数.
(1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）依题意可得且方程的两根为，，利用韦达定理，得到、，再代入求出不等式的解集；
（2）由，利用基本不等式求出的最小值，再由函数的性质求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集是，
所以且方程的两根为，，
，解得.
由，可得，即，即，
，不等式的解集为.
（2）因为，
，，，
当且仅当，即时，等号成立，
又在上单调递减，当时，，
当，时，有最小值.
21．已知函数满足，有.
(1)求的解析式；
(2)若，函数，且，，使，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用方程组法即可求得的解析式；
（2）利用复合函数的单调性与函数单调性的定义判断得的单调性，再将问题转化为与的值域的包含关系，从而得解.
【详解】（1）因为，
将替换成，得，
联立两式，解得.
（2）因为在上单调递增，
所以，
对于，不妨取，
则，
因为，所以，，
则，即，故在上单调递增，
又在上单调递增，且在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，所以在上单调递增，且恒成立，
所以在上单调递增，
则，，
因为，，使，
所以的值域的值域.
故，即，解得（负值舍去），
所以.
22．已知函数（且）为奇函数.
(1)求不等式的解集.
(2)是否存在实数，使得当时，有？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据定义域关于原点对称，即可求解，进而根据单调性，即可分类讨论求解，
（2）根据值域可判断，进而确定函数的单调性，即可将问题转化为在上有两个不相等的实数根，根据二次函数的零点分布即可求解.
【详解】（1）为奇函数，的定义域关于原点对称.
又，的解集关于原点对称，
故，，即，.
当时，，；
当时，，.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）的定义域为或，
由题意可知，且，
，在上单调递减，
，，
即方程在上有两个不相等的实数根等价于方程在上有两个不相等的实数根.
令.
又，所以要满足题意，需有解得.
综上，的取值范围为.
x/万元
1
2
3
4
5
y/万元
1
5
4
1