2023-2024学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省名校联盟高一上学期12月份联合考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知命题，，则的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可写出答案.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题，
所以命题的否定为：，.
故选：.
2．已知函数，则（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】B
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，则.
故选：B.
3．已知，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据指数式和对数式的互化，表示出a，根据对数的运算性质，即可求得答案.
【详解】由可得，而，
故，
故选：C
4．已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据给定的解集，可得并且，再利用均值不等式求出最小值即得.
【详解】由一元二次不等式的解集为，
得是方程的两个不等实根，并且，
于是，即有，因此，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.
故选：D
5．已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】确定且，得到，根据交集的概念联立方程解得答案.
【详解】根据题意：且，解得，
即，
由，解得，
故.
故选：A.
6．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以a%的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则28天后该植物的长度是原来的（ ）
A．倍B．倍
C．倍D．倍
【答案】B
【分析】设植物原来长度m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得28天后该植物的长度是原来的多少倍.
【详解】设植物原来长度m，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，
故，即，即
28天后该植物的长度是，即为原来的倍，
则，
即28天后该植物的长度是原来的倍，
故选：B
7．设且，若函数是上的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数为奇函数可得，结合指数幂的运算化简，即可求得答案.
【详解】由于函数是上的奇函数，
故，即，
故，即，
因为，故，
故选：A
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，函数在上单调递增，根据和结合函数单调性得到答案.
【详解】，即，
设，函数在上单调递增，
①，即，故；
②，即，故；
综上所述：.
故选：D.
二、多选题
9．已知，，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由不等式，，可得且，根据不等式的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由不等式，，可得且
根据不等式的基本性质，可得，，，，
所以A、B、D正确，C不正确.
故选：ABD.
10．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得.
【详解】全集，集合，，
则或，
对于A，，A不是；
对于B，，，B是；
对于C，，C不是；
对于D，，D是.
故选：BD
11．已知函数，则（ ）
A．的图象关于y轴对称B．的单调递增区间为
C．的最小值为2D．
【答案】ACD
【分析】计算得到A正确，举反例得到B错误，根据均值不等式计算C正确，确定函数单调性，根据得到答案.
【详解】对选项A：定义域为R，则，函数为偶函数，正确；
对选项B：，，，错误；
对选项C：，当且仅当时等号成立，正确；
对选项D：当时，设，，则在上单调递增，
故在上单调递增，
，，，即，
故，正确；
故选：ACD.
12．已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】确定函数单调性，计算，，得到，A错误，计算，，得到，B正确，根据函数的对称性得到，化简得到C正确，根据均值不等式计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，函数在上单调递减，
，，故，错误；
对选项B：，函数在上单调递增，
，，故，正确；
对选项C：，即，
，即，
和关于对称，关于对称，
故和关于对称，，即，正确；
对选项D：，，故，即，
等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确；
故选：BCD
三、填空题
13．函数在区间上的平均变化率为 .
【答案】
【分析】根据给定的函数，利用函数平均变化率的定义列式计算即得.
【详解】函数在区间上的平均变化率为.
故答案为：
14．若函数在区间上单调递增，请写出一个满足条件的区间为 .
【答案】（答案不唯一）.
【分析】令，根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合指数函数的单调性和复合函数单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由函数，
令，可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又由函数在定义域上为单调递减函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
则函数的一个单调.
故答案为：（答案不唯一）.
15．已知实数，当取得最小值时， .
【答案】-1
【分析】将化为，利用基本不等式可确定取得最小值时的值，即可求得答案.
【详解】由题意，可知，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
故，
故答案为：
16．函数的最大值为 .
【答案】
【分析】求出函数的定义域，按分段讨论，并变形函数式，利用换元法求出最大值即得.
【详解】函数的定义域为，
函数在上单调递增，当时， 单调递增，
于是函数在上单调递增，当时，，
当时，，，
显然，令，则，
于是，当且仅当，即时，，
所以当时，函数取得最大值.
故答案为：
【点睛】思路点睛：求含有二次根式的函数最值，可通过换元转化为熟悉的函数，再利用相应的方法求最值．
四、问答题
17．已知全集，，，.
(1)若，且，求的值及集合；
(2)若，求的值及.
【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合.
（2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解.
【详解】（1）依题意，，由，且，，得，
即，因此，解得，经验证符合题意，
解方程，得或，，
所以，.
（2）依题意，，由，得，
由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意，
，则，
所以，.
18．已知函数的定义域为，.
(1)求集合；
(2)设全集为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的函数有意义，列出不等式求解即得定义域.
（2）求出，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】（1）由函数有意义，得，解得，即，
所以.
（2）由（1）知，由，得，
由“”是“”的充分不必要条件，得，即，
因此或，解得或，即，
所以的取值范围是.
五、证明题
19．已知幂函数的图象过点.
(1)求实数的值；
(2)设函数，用定义证明：在上单调递减.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由幂函数的定义求出，再利用函数定义域确定值，进而求出的值.
（2）利用（1）的结论，利用函数单调性定义证明单调性.
【详解】（1）由函数是幂函数，得，解得，
当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意，
当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点，
所以，函数，.
（2）由（1）知，函数，则函数，
，，
由，得，且，因此，
即有，则，
所以函数在上单调递减.
六、应用题
20．某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力发展特色产业，为提升特色产品的知名度，在一家广告设计公司制作了一批宣传特色产品的展牌.该公司制作张展牌与其总成本（元）之间的函数关系可近似地表示为.
(1)当制作多少张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小?
(2)若公司每张展牌的售价为550元，公司要想盈利，对制作展牌张数有何要求?制作多少张展牌可盈利最大?（盈利总售价总成本）
【答案】(1)100张
(2)制作展牌张数需满足集合，125张
【分析】（1）由题意用总成本除以张数即可得平均成本的表达式，利用基本不等式可求得答案；
（2）求出盈利的函数表达式，解一元二次不等式可求得制作展牌张数的要求，结合二次函数的最值可求得制作多少张展牌可盈利最大.
【详解】（1）由题意知制作张展牌与其总成本（元）之间的函数关系可近似地表示为，
故每张展牌的平均成本为（元），
则（元），
当且仅当，即时等号成立，
当制作100张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小；
（2）设公司盈利为元，则，
令，则，
故公司要想盈利，制作展牌张数需满足集合；
又，
当时，取到最大值16875，
故制作125张展牌可盈利最大.
七、问答题
21．已知函数（且）是指数函数.
(1)求的解析式；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数的定义即可得解；
（2）代入，将不等式转化为恒成立，从而分类讨论，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为且是指数函数，
所以，解得，
所以的解析式为.
（2）将代入不等式，
得，
由于，上式同时除以，得，
整理得，
因为，令，则，
所以不等式转化为，整理得恒成立，
当时，恒成立.
当时，，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
八、证明题
22．小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“”：对于任意实数a，b，都有，通过研究发现新运算满足交换律：.小颖提出了两个猜想：，，，①；②.
(1)请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）
(2)设且，，当时，若函数在区间上的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）无论选①还是选②，均要根据新运算定义分别计算两个猜想等式的两边，比较其结果，即可证明结论；
（2）根据新运算定义化简可得的表达式，根据复合函数的单调性判断其单调性，结合其值域可得关于的方程，继而推出是在上的两个不同的根，结合方程根的分布列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）若选①，猜想正确；
证明：，
，
故；
若选②，猜想成立；
证明：，
而，
故；
（2）由题意可知
，
令，其图象对称轴为，
故在上单调递减，
因为在区间上的值域为，
故，而，故，
此时在上单调递减，
所以在上单调递增，则，即，
即，整理得，
即，将代入，
得，同理得，
即是在上的两个不同的根，
令，则，
解得，故.
【点睛】难点点睛：本题给出了新运算的定义，解答时要理解其含义，并根据新定义去运算，解答的难点在于第二问，要结合新运算求得的表达式，并判断其单调性，进而结合值域得到关于参数的方程，再利用方程根的分布求解即可.