2023-2024学年辽宁省大连市第十二中学高一上学期12月学情反馈数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市第十二中学高一上学期12月学情反馈数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别解不等式得集合A，B，再求并集即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
2．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．89
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义直接得出.
【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.
故选：C.
3．设m，n为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.
【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确，
故选：A.
4．函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性、函数值以及幂函数图象的增长速度进行排除.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故C错误；
当时，，故B错误；
当时，，因为的变化速度越来越快,
的变化速度越来越慢，所以的变化速度越来越快，故D错误；
故选：A.
5．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.
【详解】设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，
且，所以．
故选：C
6．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用给定的函数模型，求出，再借助取对数的方法求出时的值即可.
【详解】依题意，经过过滤后还剩余的污染物，则，解得，
设污染物减少用时小时，于是，即，则，即，
两边取对数得，因此，
所以污染物减少大约需要.
故选：B
7．若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先判断的范围，以及由条件可知，，，再分别代入选项，根据单调性和特殊值比较大小.
【详解】因为，其中，
所以，，，且，，
所以，，即，故A错误；
，，即，故B错误；
，，因为，所以，
即，即，故C错误；
，，即，故D正确.
故选：D.
8．已知函数若（，，，互不相等），则的取值范围是（注：函数在上单调递减，在上单调递增）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函数的图象，设，由图象的性质 求得，，再利用双勾函数求得，代入可得选项．
【详解】作出函数的图象如下图所示：设，且，
当时，即，所以，所以，
当时，解得，，所以
设，又函数在上单调递增，
所以，即，
所以，即，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围．
二、多选题
9．小张于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了10年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021年底贷款购置了一辆小汽车，且截至2022年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2022年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）

A．小张一家2022年的家庭收入比2018年增加了1倍
B．小张一家2022年用于娱乐的支出费用为2018年的5倍
C．小张一家2022年用于饮食的支出费用小于2018年
D．小张一家2022年用于车贷的支出费用小于2018年用于饮食的支出费用
【答案】AD
【分析】根据统计图表所给信息，即可判断正误.
【详解】对于A，设一年房贷支出费用为，年收入为，
则年的收入为，比年增加了一倍，故A正确；
对于B，年的娱乐支出费用为，
年的娱乐支出费用为，相当于年的倍，故B错误；
对于C，用于饮食费用的支出为，
年的饮食费用支出为，显然年高，故C错误；
对于D，年车贷的支出费用为，年饮食支出费用为，
所以年用于车贷的支出费用小于年用于饮食的支出费用，故D正确.
故选：AD.
10．已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则或
D．若方程有两个不同的实数根，则
【答案】ABC
【分析】选项A分情况代入的值讨论即可；选项B直接把代入分段函数求值；选项C分情况讨论；选项D利用函数单调性求分段函数图像与直线的交点分析即可.
【详解】对于：当时，，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；
对于：，，故选项不正确；
对于：当时，，即，解得；当时，，解得，则或，故选项不正确；
对于：函数在上单调递增，值域为，则时，，
函数在上单调递减，值域为，则时，，因此，方程有两个不同的实数根，则，故选项正确.
故选：ABC
三、填空题
11．甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为 ；
【答案】/
【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种，
所以估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
12．已知（且）的图象过点，其反函数的图象过点，则 ．
【答案】
【分析】利用点在函数的图象上及反函数的性质，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】因为的图象过点，
所以.①
又因为的反函数的图象过点，
所以点在函数的图象上，
所以.②
联立①②，解得，
所以.
故答案为：.
13．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭时训练，甲、乙两队队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢两个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响．已知某局甲先发球，该局打四个球，甲赢的概率是
【答案】
【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可.
【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：
该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，
则概率为；
故答案为：
14．已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围 .
【答案】
【分析】分、两种情况讨论即可.
【详解】函数是由
和复合而成，
当时单调递增，
若函数（，且）在区间上单调递增，
则在上单调递增，且在上恒成立，
的对称轴为
所以解得：，
当时单调递减，
若函数（，且）在区间上单调递增，
则在上单调递减，且在区间上恒成立，
的对称轴为
所以解得：，
综上所述：a的取值范围是，
故答案为：
四、解答题
15．己知幂函数在定义域上不单调.
(1)求m的值．
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根；
（2）先判断为奇函数，利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）由题意，解得或，
当时，，
函数在上单调递增，不合题意；
当时，，
函数的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递减，
但，
所以函数在定义域上不单调，符合题意，
所以.
（2）因为函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
因为，可得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或．
16．制成奶嘴的主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等.因为奶嘴直接接触食物和婴儿口腔，使用过程中，挥发性物质的溶出会污染奶质，甚至通过消化道被宝宝身体吸收，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，因此我国对奶嘴和安抚奶嘴的挥发性物质做了规定，要求其含量不得超过0.5%.某婴儿用品的生产商为了测量某新产品的挥发性物质含量，从试生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图：注：以频率作为概率，该婴儿用品的生产商规定挥发性物质含量<18‰为合格产品.
（1）根据频率分布直方图，求这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数；
（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从与中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求在与中各有一个的概率；
（3）若这100个奶嘴的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？
【答案】（1）；（2）；（3）该产品需要进行技术改进.
【分析】（1）根据频率直方图中求中位数的方法可求得答案；
（2）先根据分层抽样求得在与中所抽取的个数，运用列举法列出事件的所有情况，由古典概率公式可求得答案.
（3）求得其平均值可得结论.
【详解】解：（1）挥发性物质含量位于的频率为，
挥发性物质含量位于的频率为，
所以这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数位于区间，
设中位数为，则，解得；
（2）组的奶嘴的个数为，
组的奶嘴的个数为，
所以从组中抽取个，从组中抽取个，
记组中抽取的5个分别为a，b，c，d，e，组中抽取的一个为f，
则从6个中抽取2个的所有情况如下：
，，，，，，，，，，，，，，
共15种情况，
其中在与中各有1个的有，，，，共5种情况，
所以所求的概率；
（3）因为
，
故该产品需要进行技术改进.
17．已知函数，，．
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)若对，，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）令，将函数化为，利用基本不等式求最值；
（2）独立m，将问题转化为，使得成立，求的最大值，得m的取值范围.
【详解】（1）令，因为，所以，
则可化为，，
因为，当且仅当，即，时，等号成立，
所以时，取最小值6.
（2）由（1），，
因为，，使得成立，
所以，使得成立，
即，使得成立，
令，因为，，
所以，使得成立，
因为当，，
当，即时，取最大值2，
所以.
18．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足：，则称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点.
(1)函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由；
(2)现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数是上的“平均值函数”，0是它的平均值点
(2)
【分析】（1）根据“平均值函数”的定义，假设求，确定是否在上即可判断是否是上的“平均值函数”.
（2）由题设，设是平均值点可得，应用换元法则在区间上有解，法一：利用二次函数的性质，讨论区间内根的个数求参数范围；法二：应用参变分离思想，将方程整理为，讨论t，结合的性质求参数范围.
【详解】（1）函数是上的“平均值函数”，理由如下：
，设是它的平均值点.，则有解得：.
∴函数是上的“平均值函数”，0是它的平均值点.
（2）由题意得：，设是它的平均值点，
∴，即，整理得：.
令，则有解.
法一：令，
①当在内有一个实根时，，解得.
②当在内有两个不等的实根时，，可得，故.
综上所述：.
法二：整理得，
①当，即时，解得（矛盾），故.
②当，即时，整理得：
令
在上单调递增，
，即.
.