2023-2024学年山东省淄博市第六中学高一上学期12月阶段性检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省淄博市第六中学高一上学期12月阶段性检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
【详解】.
故选：B
2．设，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据绝对值不等式和对数函数的单调性，解出，即可得到结果.
【详解】由，得；
由，可得，即，
又在上单调递增，
所以.
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
3．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.
【详解】因为在上单调递减，所以，即.
因为在上单调递增，又，，
又，所以，故，所以.
故选：C.
4．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【分析】利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
5．定义在上的偶函数满足：对任意，，有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据判断函数的单调性，结合偶函数和单调性进行求解即可.
【详解】不妨设，
由，
所以该函数是上的增函数，
或，
，
则或，
由，
由，
综上所述：不等式的解集是，
故选：D
6．函数的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分析函数的奇偶性，然后根据时取值的正负进行判断即可.
【详解】因为，所以，所以定义域为且关于原点对称，
又因为，
所以，
所以为奇函数，故排除BD，
当时，，所以，故排除A，
故选：C.
7．已知函数有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由有最大值结合指数函数的图像，得出当时，可取最大值，且该最大值大于等于，列出不等式求解即可．
【详解】当时，的取值范围是，
故当时，可取最大值，且该最大值大于等于，
显然不合题意，
则必有，此时，解得，
故选：B．
8．已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.
【详解】
设，则，即，故，
因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，
故原方程共有6个根.
故选：D.
二、多选题
9．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于原点对称B．的最大值为0
C．在上单调递减D．
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】的定义域为，
，所以是偶函数，不是奇函数，
图象关于原点轴对称，不关于原点对称，所以A选项错误，
，当时，，
单调递减，C选项正确，，D选项错误.
所以当时，单调递增，
所以的最大值为，所以B选项正确，
故选：BC
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图象恒过定点
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的最小值为6
D．函数的单调增区间为
【答案】ABD
【分析】根据指数函数的性质即可对A项判断；根据一元二次不等式的性质即可对B项判断；根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可对C项判断；根据复合函数的单调性即可对D项判断.
【详解】对于A：函数（且）的图像恒过定点，故A项正确；
对于B：不等式的解集为或，
所以，解得，所以，故B项正确；
对于C项：，
当且仅当时，等号成立，而此方程无解，故C项错误；
对于D项：令，由，得，
所以的定义域为，
所以当时，单调递增，而，单调递增；
当时 ，单调递减，而单调递减；
又因为为减函数，所以的单调递增区间为，故D项正确.
故选：ABD.
12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】BC
【分析】根据函数的定义域为R，可得恒成立，求解m范围，判断A；根据函数的值域可得，结合二次函数性质可判断B；根据复合函数的单调性结合二次函数性质可判断C；利用对数函数的单调性解不等式判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，则恒成立，
故时，，不合题意，
故需满足且，解得，
即实数m的取值范围是，A错误；
对于B，函数的值域为，则，
故，解得，B正确；
对于C，当时，在区间上为增函数，符合题意；
当时，函数由复合而成，
为上的增函数，故由在区间上为增函数，
可知在区间上为增函数且，
故需满足，解得，
即实数m的取值范围是，C正确；
对于D，时，，即，
则，则不等式的解集为，D错误，
故选：BC
三、填空题
13．当时，幂函数为减函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用幂函数定义即可得到结果.
【详解】函数为幂函数，则，解得或，
又因为函数在上单调递减，
可得，可得，
故答案为：2
14．已知是奇函数，且当时，.若，则 .
【答案】-3
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
15．已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】由扇形的弧长、面积公式计算即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长是，则其扇形周长是，解得，故该扇形的面积是．
故答案为：.
16．定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数在上是以3为上界的函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，则，则，根据新定义可得在上恒成立，即，分别构造函数，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出的范围.
【详解】设，，，，
由题意知，在上恒成立．即在上恒成立．
，即，，
在上为增函数，，
在上为减函数，
，
故实数a的取值范围是．
故答案为．
【点睛】本题主要考查指数函数的性质、新定义，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．
四、计算题
17．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
(1)求sinα和tanα的值
(2)若，化简并求值
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义计算；
（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．
【详解】（1）∵，由三角函数的定义得，；
（2）∵，
∴.
五、解答题
18．已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．
【详解】（1）由集合，所以，
又，，
所以，解得；
所以实数的取值范围是．
（2）若，则，
当时，，解得；
当时，有，要使，则，解得，
综上，实数的取值范围是．
19．函数，
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的零点；
(3)若函数的最小值为，求的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用对数型复合函数的定义域求解即可；
（2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解；
（3）利用对数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）解：
要使函数有意义，则，解得：
所以函数的定义域为：
（2）解：
令，得：
即
解得：
因为
所以函数的零点为.
（3）解：
且函数的最小值为
即，得
即.
六、证明题
20．已知函数在为奇函数，且
(1)求值；
(2)判断函数在的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式
【答案】(1)
(2)函数在为单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值；
（2）由（1）由此可得出函数的解析式，可判断是奇函数，判断出函数在上是减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）在为奇函数，，解得：，
又，解得：，
故，经检验满足题设.
（2）当时，，

当时函数在为奇函数，
由，判断函数在为单调递减，
证明：，
，
，
，，
，函数在为单调递减，
（3）则，
在为奇函数，，
又函数在为单调递减，
t的不等式的解集为
七、应用题
21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【分析】（1）根据题意列方程即可.
（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴．
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润．
（2）∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元）．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
八、解答题
22．已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
【点睛】不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．