2023-2024学年山西省部分学校高一上学期12月联合考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省部分学校高一上学期12月联合考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用并集的概念计算即可.
【详解】依得，即，
则.
故选：B
2．是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据终边相同角的定义可确定具体的象限即可求解
【详解】因为，
即与终边相同，所以是第四象限角.故D正确.
故选：D.
3．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可.
【详解】由，得，解得或,
所以时，具有充分性；
而时，或，不具有必要性.
故选：B
4．已知，，则的最小值为（ ）
A．15B．12C．8D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由基本不等式可知：，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为12.
故选：B
5．，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数与对数函数的性质计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数单调性和奇偶性即可判断.
【详解】的定义域为，排除选项D.
又因为，所以为奇函数，排除选项C.
因为，所以排除选项A，
当时，因为均单调递增，
故在上单调递增，又因为为奇函数，
则在上单调递减，故B的图象符合，
故选：B.
7．若函数（且）在上的值域为，则（ ）
A．3或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】讨论和，利用指数函数的单调性求函数的最值列出等式即可求解.
【详解】当时，在上单调递减，
则，解得，
此时.
当时，在上单调递增，
则，解得或（舍去），
此时
综上可得：为或.
故选：C
8．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析出与的单调性和特殊点的函数值，在同一坐标系内画出函数图象，数形结合求出不等式的解集.
【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且，.
因为定义在R上的偶函数在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
在同一坐标系内画出与的大致图象，
故不等式的解集是.
故选：A
二、多选题
9．已知函数的值域为，则的定义域可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域，
【详解】令，解得，
令，解得，
根据的图象关于轴对称的性质，
可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确.
故选：BCD.
10．已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.
【详解】设，则，
所以，解得或，
则或．
故选：AD.
11．人们常用里氏震级M表示地震的强度，E（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（m为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（ ）
A．
B．
C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳
D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍
【答案】AC
【分析】利用待定系数法可判定A、B，通过关系式代入相应震级计算释放能量即可判定C、D.
【详解】由题意可得，即，解得，A正确，B错误；
若，则，，C正确；
若，则，，，D错误.
故选：AC
12．已知a，b满足，则（ ）
A．且B．的最小值为9
C．的最大值为D．
【答案】ABD
【分析】A选项，根据指数函数的性质得到，求出且；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，由基本不等式求出答案；D选项，令，即，故，故，D正确.
【详解】A选项，因为，所以，
故且，A正确；
B选项，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9，B正确；
C选项，由基本不等式得，解得，
当且仅当，即时，等号成立，C错误；
D选项，，
因为，令，即，，
故，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．某高一（5）班共有55名学生，在数学课上全班同学一起做两道数学试题，其中一道是关于指数函数的试题，另一道是关于对数函数的试题.已知关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，则这两道题都做对的有 人.
【答案】13
【分析】根据题意，利用集合的关系及运算列出方程即可求解．
【详解】设这两道题都做对的有人，
因为共有55名学生，关于指数函数的试题做对的有36人，
关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，
所以，
解得.
故答案为：13
14．已知函数，若，且，则 .
【答案】
【分析】根据可得图象的对称轴为直线，从而求得，即可求解.
【详解】因为图象的对称轴为直线，
所以，则.
故答案为：.
15．若为偶函数，则 .
【答案】
【分析】设，可求得为奇函数，结合为偶函数，即可求解.
【详解】设，定义域为，
则，
所以函数为奇函数，
又因为为偶函数
所以函数为奇函数，得.
故答案为：.
16．已知函数恰有3个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据有两正根，把问题转化为在上只有1个零点问题，然后分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求解即可.
【详解】当时，令，得，
因为函数与函数的图象在上有2个公共点，
所以在上有2个零点，所以在上只有1个零点.
当时，在上有唯一零点，符合题意；
当时，的图象的对称轴为，
在轴右侧，开口向下，且0，
则在上有唯一零点，符合题意；
当时，的图象的对称轴为，
在轴左侧，开口向上，，则，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由指数幂的运算，即可得到结果；
（2）由对数的运算，即可得到结果.
【详解】（1）原式.
（2）原式
18．某校欲建造一个扇环形状的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径米，大圆半径米，圆心角.
(1)求该花坛的周长；
(2)求该花坛的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用弧长公式计算即可；
（2）利用扇形面积公式计算即可.
【详解】（1）的长度为米，
的长度为米，
米，
故该花坛的周长为（米）;
（2）该花坛的面积平方米.
19．已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为的图象经过点，，
所以，两式相减得，
又且，解得或（舍去），则.
（2）由（1）得，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
，
故在上的值域为.
20．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的定义求解一元二次不等式即可；
（2）根据指数与对数的关系化简方程为，利用一元二次方程根的分布计算即可.
【详解】（1）令，即，
解得，
即的定义域为；
（2）由，得，即，
方程有两个不相等的实数根，
即方程在上有两个不相等的实数根，
则,
解得，即a的取值范围为.
21．某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系如下表所示.
为了描述种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式.
(2)已知该果园的年利润z（单位：万元）与x，y的关系式为，则果树数量x（单位：百棵）为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值.
【答案】(1)②更适合作为y与x的函数模型，且相应的函数解析式为；
(2)时，z取得最大值，最大值为79万元.
【分析】（1）利用待定系数法计算验证即可；
（2）利用二次函数的性质计算即可.
【详解】（1）因为模型③在处无意义，所以不符合题意.
若选择①作为y与x的函数模型，将，代入，得，
解得，则，
则当时，，当时，，当时，，
与表格中的实际值相差较大，所以①不适合作为y与x的函数模型.
若选择②作为y与x的函数模型，将，代入，得，
解得，则，
当时，，当时，，当时，，
与表格中的实际值相同，所以②更适合作为y与x的函数模型，
且相应的函数解析式为；
（2）由题可知，该果园最多可种120000棵该种果树，所以且.
，
令，则，
当，即时，z取得最大值，
最大值为79万元.
22．已知函数.
(1)当时，试判断在上的单调性，并用定义证明.
(2)设，若，，求n的取值范围（结果用m表示）.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用单调性的定义计算即可证明；
（2）令，将条件不等式化为，分离参数得，利用二次函数的性质分类讨论求其最小值即可.
【详解】（1）在上单调递增.
证明如下：任取，且，
则
，
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增；
（2）令，因为，所以.
由，得，
因为，所以，
令，得在上有解，则.
当，即时，；
当，即时，.
综上，当时，n的取值范围为；当时，n的取值范围为.
x
0
4
9
16
36
y
3
7
9
11
15