2023-2024学年山西省太原市外国语学校、成成中学校高一上学期12月质量监测数学试题含答案

2023-2024学年山西省太原市外国语学校、成成中学校高一上学期12月质量监测数学试题一、单选题1．的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】.故选：B.2．若集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式得到，进而求出交集.【详解】，又代表所有奇数的集合，故.故选：D3．函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域.【详解】令得，，故定义域为，.故选：A4．若函数是幂函数，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则根据可得，进而可得.【详解】设，因为，故，解得，故，.故选：D5．已知，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角的范围及正弦值求出余弦值，进而利用诱导求出答案.【详解】因为，所以，又，所以，.故选：C6．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据在上为增函数可得判断，再根据判断即可.【详解】因为在上为增函数，，故，即；又，，故，综上有.故选：B7．溶液酸碱度是通过pH计算的pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．经检测某饮料中氢离子的浓度为（令），则此饮料的pH是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合对数性质运算即可得.【详解】.故选：C.8．已知，且满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先变形得到且，从而得到，故，利用基本不等式求出最小值，得到答案.【详解】因为，且，所以，又，故，所以，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，故.故选：A二、多选题9．的充要条件可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】AD可举出反例；B选项，根据指数函数单调性解不等式得到，B正确；C选项，由幂函数单调性得到；【详解】A选项，当时，满足，但不满足，A错误；B选项，因为在R上单调递减，所以，故B正确；C选项，由于在R上单调递增，故，C正确；D选项，当时，满足，但不满足，D错误.故选：BC10．在中，下列等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用三角形内角和等于及诱导公式进行求解.【详解】A选项，，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，因为，故不一定等于1，D错误.故选：AC11．若函数是奇函数，则（    ）A． B．是R上的减函数C．的值域是 D．的图象与函数的图象没有交点【答案】ACD【分析】A选项，根据得到方程，求出；B选项，化简得到，利用定义法判断出函数的单调性；C选项，根据，所以，从而求出值域；D选项，联立得到，无解，故D正确.【详解】A选项，的定义域为R，又为奇函数，故，即，即，解得，A正确；B选项，，任取，且，故，因为在R上单调递增，，故，所以，即，所以是R上的增函数，B错误；C选项，因为，所以，，所以的值域是，C正确；D选项，令，即，，无解，故的图象与函数的图象没有交点，D正确.故选：ACD12．已知，且满足，则下列结论正确的有（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】观察等式，借助函数，有，结合函数单调性可得，而后逐一检验选项即可得.【详解】由，则，则，令，则有，由，故在上单调递增，故，则，，由，故无最大值，故A错误；，当且仅当时等号成立，故B正确；，由，故无最大值，故C错误；，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BD.【点睛】本题关键点在于观察出等式可借助同构思想，设出函数，将原等式转换成，结合单调性从而得出.三、填空题13．已知角的终边经过点，则 ．【答案】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】设坐标原点为，由题意可得：，故.故答案为：.14．若m，，且满足集合，则 ．【答案】【分析】分两种情况，得到方程组，舍去不合要求的解，得到答案.【详解】，故①或②，由①解得，不满足，舍去，由②解得，故.故答案为：15．，．若此命题是假命题，则实数a的取值集合是 ．【答案】【分析】先得到，为真命题，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，为真命题，当时，恒成立，满足要求，当时，，解得，综上，实数a的取值集合为.故答案为：16．已知函数，则不等式的解集是 ．【答案】【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，在分析该函数的单调性即可得.【详解】，则，又，故的定义域为，故为奇函数，即，当时，有随增大而增大，随增大而增大，故在上为增函数，又为奇函数，故该函数在定义域上单调递增，即可得，解得.故答案为：.四、解答题17．已知．求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可；（2）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可.【详解】（1）则，即，解得.（2）18．已知集合，集合．(1)若；求；(2)若，求实数的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入后解出一元二次不等式，结合补集定义即可得；（2）由，得到，分类讨论与空集即可得.【详解】（1）若，则，解得 ，故；（2）由，即，当时，有，即，解得，当时，即时，，则当时，，又，则有，即，当，则，有，即，综上所述，，即.19．某城市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法计算用户的水费．计费方法如下表：(1)设每户每月用水量为x时，应交纳水费y元，写出y关于x的函数关系式；(2)若某同学家本月交纳的水费为60元，则其本月用水量是多少？【答案】(1)；(2).【分析】（1）由表格数据知函数是一个分段函数，故分段计算即得解析式；（2）因该同学家的水费在36元至72元之间，故判断用水量应在至之间，利用相关解析式求解即得.【详解】（1）依题意，当时，，当时，，当时，故y关于x的函数关系式为：（2）因，故本月用水量应在至之间，由解得，即该同学家本月用水量为.20．已知，且方程有两个相等的实根．(1)求函数图象的对称中心；(2)判断在区间上的单调性并证明．【答案】(1)对称中心为(2)在区间上单调递增，证明见解析【分析】（1）利用方程有两个相等的实根求出可得，再由可得答案；（2）在区间上单调递增，利用单调性定义证明即可．【详解】（1）得有两个相等的实根，所以，解得，此时，，符合题意，所以，，所以函数图象的对称中心为；（2）在区间上单调递增，证明如下，由（1），设，，因为，所以，，所以，所以在区间上单调递增.21．已知定义在R上的函数满足，．(1)求函数的解析式；(2)若在第一象限，函数的图象始终在函数的图象的上方，求实数a的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）将代换为代入，再联立求解即可；（2）将题意转换为当时，恒成立，再化简结合基本不等式求解恒成立问题即可.【详解】（1）因为，故，则，故，解得（2）当时，，故在上恒成立.即，故在上恒成立.由基本不等式，当且仅当，即时取等号.故，故，即实数a的取值集合为22．已知函数（）是偶函数．(1)求k的值；(2)若函数（），是否存在实数m，使得的最小值为0？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据偶函数的定义化简得，由且不恒为0即可求得的值；（2）由（1）得到从而推得，通过换元将其转化成关于的二次函数在上有无最小值为0的情况，考虑其对称轴与区间的位置关系分类讨论即得.【详解】（1）因函数（）是偶函数，故因且不恒为0，故得.（2）由（1）可得则，设因，则，其对称轴为，则①当时，在区间上单调递减，则解得，不符题意，舍去；②当时，在区间上先减后增，故解得故；③当时，在区间上单调递增，则解得不符题意，舍去.故存在，使得的最小值为0.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了运用偶函数定义求解参数值和由指数式组成的函数式在给定区间上的最值问题.解题关键在于对数的运算性质的运用，以及对同底的指数函数的换元法处理思想，将其转化为二次函数在给定区间上的最值问题，需要数学化归意识和分类讨论思想.每户每月用水量水价不超过123元/超过12但不超过18的部分6元/超过18的部分9元/