2023-2024学年上海市行知中学高一上学期第二次质量检测（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市行知中学高一上学期第二次质量检测（12月）数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】利用集合的并集运算求解.
【详解】因为集合，
所以.
故答案为：.
2．函数的零点为 .
【答案】2
【分析】解方程，即可得出答案.
【详解】由，得，
所以函数的零点为2.
故答案为：2
3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，则 .
【答案】/
【分析】根据正弦的定义进行求解即可.
【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，
所以，
故答案为：
4．若，则是第 象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”）
【答案】三
【分析】直接根据象限角的定义判断即可.
【详解】由题意，所以是第三象限角.
故答案为：三.
5．函数，若，则实数的值为 .
【答案】1
【分析】直接按分段函数的定义代入列方程即可求解.
【详解】由题意，解得，即实数的值为1.
故答案为：1.
6．函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质列出不等式求解即可.
【详解】由题意函数开口向上，对称轴为，
若函数在区间上是严格减函数，
则，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
7．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】把圆心角的度数化为弧度制，结合扇形的面积公式进行求解即可.
【详解】，半径为，
所以该扇形的面积为，
故答案为：
8．如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米.
则矩形的面积关于的函数解析式为 .
【答案】
【解析】根据题目结合图形，将矩形的边用表示，代入面积公式即可表示出函数解析式，此题应注意的取值范围.
【详解】解：在直角中，
所以，
∴，
∴，
所以矩形的面积关于的函数解析式为.
【点睛】二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略：
（1）在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解；
（2）对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小；
（3）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值.
9．已知函数在上存在最大值或最小值，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】利用对勾函数的性质，对进行讨论可得实数的取值范围.
【详解】函数在上存在最大值或最小值，当时， ，在上不存在最大值或最小值.当时，函数和函数都是递增函数，在上不存在最大值或最小值.当时，函数，当且仅当时取等号，此时可得最小值.即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是函数在给定区间上的最值问题，同时考查学生对对勾函数的理解和应用问题，是中档题.
10．已知函数，当时，，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果.
【详解】令，解得：；令，解得：；
图象如下图所示，
由图象可知：，，.
故答案为：.
11．已知定义在上的奇函数在满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数单调性将不等式对任意实数恒成立，转化为对于恒成立，列出不等式组进而求解即可.
【详解】因为时，，
所以由函数图象可知，函数在上递增，
又是上的奇函数，所以在上单调递增，
若不等式对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
即对于恒成立，
当时，不恒成立，
当时，则，解得.
综上可得.
故答案为：
12．设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为
【答案】
【解析】由题设且上有，所以，使得成立，只需即可，进而求得正整数的最大值.
【详解】由题意知：，使成立，
而当且仅当时等号成立，
∴，而，即，
∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要即可求最值.
二、单选题
13．已知，以下不等关系不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质，结合指数函数和对数函数的单调性进行求解即可.
【详解】A：因为，所以，因此本选项不等关系一定成立；
B：因为，所以，
当时，则有，所以本选项不等关系不一定成立；
C：因为，所以，因此，
所以本选项不等关系一定成立；
D：因为，所以，因此有，
所以本选项不等关系一定成立，
故选：B
14．在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用二分法及零点存在定理判断函数零点所在区间
【详解】设，
由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得
由知，下一步应当确定零点位于区间，
故选：A
15．已知函数，给出以下三个命题正确的个数为（ ）
①存在实数a，函数无最小值；
②对任意实数a，函数都有零点；
③对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】通过特例，通过函数的图象可判断①；分为和两种情形即可说明②；通过函数图象交点的个数即可判断③.
【详解】①当时，，
的图象如下图所示，由图可知，没有最小值，①正确.
②由于，
当时，；当时，，
所以对任意实数a，函数都有零点，②正确.
③当时，，
当时，，
画出的图象如图所示，
由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，③正确.
即正确的个数为3个，
故选：D.
16．已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.
【详解】都不是空集，设，则；，则.
当时：方程的解为 此时，满足；
当时：的解为或
，则或
，则无解，
综上所述：，
故选
【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
三、解答题
17．已知幂函数，且图像不过原点.
(1)求出的表达式，并写出它的单调区间；
(2)记，判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】(1)，单调减区间为，无单调减区间.
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义列出方程结合图象不过原点即可得函数不等式，进一步得单调区间.
（2）直接根据函数奇偶性的定义进行判断并证明即可.
【详解】（1）由，解得或，
又图像不过原点，故，单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）函数是定义域上的奇函数，
证明：，定义域为，
任取，都有，即定义域关于原点对称，
又由，
所以函数是定义域上的奇函数.
18．已知函数.
(1)若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；
(2)用定义法证明：函数在定义域上是严格增函数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数的奇偶性以及当时的解析式，即可求得答案；
（2）根据函数的单调性的定义即可证明结论.
【详解】（1）当时，，
设，则，又函数是偶函数，
于是得，
所以当时，.
（2）由得，解得，
所以的定义域为；
设是区间上任意两个实数，且，
则，
因，则，，故，
即，故，
所以函数在区间上是严格增函数.
19．为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.我市工业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用.
(1)若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
(2)若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
(3)若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值.
【答案】(1)6毫克/立方米
(2)7.1
(3)，； 的最小值为12毫克/立方米
【分析】（1）由函数解析式，将代入即可得解；
（2）分和两种情况讨论，根据题意列出不等式，从而可得出答案；
（3）根据题意写出函数的解析式，再根据基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）解：由，
当时，，
所以若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米；
（2）解：因为净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用，
当时，令，得恒成立，
所以当时，起到净化污水的作用，
当时，令，得，则，
所以，
综上所述当时，起到净化污水的作用，
所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达7.1小时；
（3）解：因为第一次投入1个单位的净化剂，3小时后再投入2个单位净化剂，要计算的是第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为，
所以，，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，，
当时，取最小值12毫克/立方米.
20．已知函数.
(1)若有零点，求实数的取值范围；
(2)若，函数的值域为，且，求的取值范围；
(3)当时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）分，进行讨论，分别求出有零点时，实数的取值范围即可；
（2）根据函数的值域可确定其为二次函数，求出等量关系，再由与不等式得出范围，化简，并求出其取值范围；
（3）根据函数在区间上的单调性，再根据在区间内有且只有一个根，结合单调性即可求出的取值范围.
【详解】（1）当时，，满足有零点；
当，故；
综上，若有零点，实数的取值范围为.
（2）由题知，值域为，
可得： ；
，故且，
又，当且仅当时取等号，
所以，平方得，
则
，
所以的取值范围为.
（3）当时，函数，在区间上单调递减，
当时，的对称轴为，
当时，，函数开口向上，在区间上单调递减，
当时，，函数开口向下，在区间上单调递减，
所以当时在区间上单调递减，
令单调递增.
原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点，
则当且仅当即时原命题成立，
解得，又，所以．
21．设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有．
(1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；
①； ②；
(2)若是函数的“区间”，求m的取值范围；
(3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．
【答案】(1)①是，②不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；
（2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解；
（3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且.
【详解】（1）对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”，
对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2，
不是函数的“区间”.
（2）记， ，注意到，
因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即.
当时，在上单调递增，且，
所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（3）对于任意区间，记，
依题意，在上单调递减，则.
因为，所以，
即S的长度大于的长度，故不满足性质①.
因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即，
即只需存在使得，或存在使得.
因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间" .
记，先证明函数有唯一零点；
因为在上单调递减，所以在上单调递减.
若，则为的唯一零点；
若，则，即，
由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；
若，则，即，
由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；
综上，函数有唯一零点，即，
已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以.
【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题.