2023-2024学年天津市第四十二中学高一上学期12月考练习数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市第四十二中学高一上学期12月考练习数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【解析】由，判断出的终边所在的象限，进而可得出结论.
【详解】，为第三象限角，则是第三象限角.
故选：C.
2．下列等式中的字母都是正数，则错误的选项是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质，可得答案.
【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.
故选：D.
3．已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据为第三象限角，先判断，的符号，再选择.
【详解】因为为第三象限角，
所以，，
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题.
4．已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）
A．12B．1.2C．16D．1.6
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算即得.
【详解】半径为的圆上，弧长为的圆弧所对的圆心角的弧度数为.
故选：B
5．已知，则的值为 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因，故应选答案C ．
6．设，且，则（ ）
A．B．10C．20D．100
【答案】A
【分析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得．
故选：A.
7．若,则的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与或作比较，即可容易判断.
【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，
===，所以，
故选：B.
【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.
8．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式，结合在、的值域情况、单调性，结合零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】的定义域为且，
在上，恒成立，不存在零点，排除D；
在上，均递增，即在该区间上单调递增，
由解析式知：，，，
∴零点所在的区间是.
故选：B.
9．设函数，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数奇偶性，舍去B,D，再根据函数值正负确定选项.
【详解】因为，所以是奇函数，排除B,D，
因为,所以选C.
故选: C.
【点睛】本题考查函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基本题.
10．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图象可得：，，，.，
则.令，，，而函数.即可求解.
【详解】解：函数，的图象如下：
根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，
则，，，.
，，
则.
令，，，而函数在，单调递增.
所以，则.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.
二、填空题
11．若对数函数的图象过点，则 ．
【答案】
【分析】首先求解对数函数，再代入求值.
【详解】设对数函数（，且），因为函数图象过点，
所以，得，
所以.
故答案为：
12．已知角的终边经过点，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义，代入数值，即得解
【详解】由题意，，，
所以．
故答案为
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域.
【详解】由函数解析式知：，解得，
故答案为：.
14．已知，，那么 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用差角的正切公式计算即得.
【详解】，，所以.
故答案为：
15．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数、对数函数性质求定义域并研究单调性，结合复合函数单调性确定单调区间.
【详解】令且，即，则或，
所以定义域为，
由开口向上，对称轴为，则在上递减，在上递增，
而在定义域上递减，故的增区间为，减区间为.
故答案为：
16．若满足，则 ．
【答案】
【分析】由，求得，再由求解.
【详解】因为，所以，
所以．
故答案为：．
17．计算： ．
【答案】/3.75
【分析】利用指数运算、对数运算及对数换底公式计算即得.
【详解】.
故答案为：
18．函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】求出定点的坐标，代入直线方程，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】依题意，函数，且的图象恒过定点，
于是，由于，即同号，因此，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
三、解答题
19．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用二倍角的正弦公式即可得解；
（2）利用两角差的余弦公式计算即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
20．已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)证明是上的偶函数；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可得是上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式在上恒成立，转化为对任意恒成立,利用函数的单调性求最值即可求实数的取值范围.
【详解】（1）因为对任意,都有，
所以是上的偶函数.
（2）由条件知在上恒成立,
因为，所以.
所以在上恒成立.
令，
所以对任意成立,
由对勾函数的单调性知 ,
所以,
因此，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.