2023-2024学年浙江省杭州市金华一中卓越联盟高一上学期12月阶段联考数学试题含答案

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命题人：巍山高中 楼永良；审题人：磐安中学 曹桂菊
考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C
2. 在的范围内，与终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据终边相同角的性质进行求解即可.
【详解】与终边相同角可以表示为，
由题意可知，
因为，所以，
于是有，
故选：B
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.
【详解】命题“”为全称量词命题,
它的否定为,
故选：A
4. 设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性将不等式化简，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】因为都是不等于1的正数，由可得，
由可得，
则是的既不充分也不必要条件，
即“”是“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D
5. 直线与二次函数交点个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】数形结合判断即可.
【详解】直线为的纵坐标为，图像为一条与轴平行的直线，
设二次函数为，
当时，；开口向上，图像与直线一定有一个交点，如图：
当时，如如；开口向下，图像与直线一定有一个交点，如图：
故选：B
6. 设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，结合零点存在性定理，即可求解.
【详解】由函数，且，可得，
所以，根据零点的存在性定理，
可得方程的近似解落在区间为.
故选：A.
7. 2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，秉持“绿色､智能､节俭､文明”的办赛理念，其中“绿色低碳”被摆在首位，比如所有场馆实现100%绿色供电､所有亚运会官方指定用车均为新能源汽车.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将时，代入公式，结合即可计算时的放电时间.
【详解】由题意得：，则，
由，故，
故放电时间为.
故选：A.
8. 已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数以及的性质，化简的表达式，讨论恒成立以及恒成立和，均存在，结合函数性质，即可判断选项的正误，即得答案.
【详解】因为，则为偶函数，
在上单调递减，则在上单调递增，
函数满足且在上单调递减，
则图象关于对称，在上单调递增，
当时，，
当时，；
①当恒成立时，，图象关于对称，
此时，；
②当恒成立时，，图象关于y轴对称，
当时，；当时，；
即说明A，B错误；
当，即时，，则，
当，即时，，
故若，则，则说明D错误；
③若，均存在，则不妨作示意图如图：
关于直线对称，且，则，
综合上述，可知C正确，
故选：C
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式，求得的取值范围，可判定A不正确；根据当时，得到，可判定B正确；结合配方法，可判定C正确；结合对数函数的性质，可判定D不正确.
【详解】对于A中，当时，则，当且仅当时，等号成立；
当时，则，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围为，所以A不正确；
对于B中，当时，可得，所以命题为真命题，所以B正确；
对于C中，由，所以命题为真命题，所以C正确；
对于D中，当时，，所以命题为假命题，所以D不正确.
故选：BC.
10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求得幂函数为，利用奇偶性的定义，以及幂函数的图象与性质，结合指数幂的运算性质，逐项判定，即可求解.
【详解】设幂函数的解析式为，
因为幂函数的图象过点，可得，解得，即，
所以函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，
且在上单调递增，所以A正确，B不正确；
当时，可得，所以C正确；
当时，，
因为，所以，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知在上有两实根，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定条件，设出方程的两个实根，并表示及，再用基本不等式求出范围即可.
【详解】设方程的两个实根为，则，显然，
此时，即方程有两个实根，
因此
，当且仅当时取等号，显然，即，
所以的值可能为，，即AB错误，CD正确.
故选：CD
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ）
A. 若为的“完美区间”，则
B. 函数存在“完美区间”
C. 二次函数存在“2倍美好区间”
D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.
【详解】对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增，
所以其值域为，又因为为的完美区间，
所以，解得或，因为，所以，A错误；
对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互为倒数且，故函数存在完美区间，B正确；
对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为
当时，易得在区间上单调递减，
，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确.
对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”，
若，由函数在内单调递减，则，解得；
若，由函数在内单调递增，则，即在有两解a，b，得，故实数m的取值范围为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用代入法，整体法进行求解即可.
【详解】因为，
所以
即，
所以，
故答案为：
14. 如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为.若一个半径为1的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆心角为，再根据扇形的面积公式即可求解.
【详解】解：由题意，所以该扇形的面积.
故答案为：.
15. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得参数的值，得到含药量与时间的函数关系式，令，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由图中的一次函数的图象得，图象中线段所在的直线方程为，
又由点在曲线上，可得，解得，
所以含药量与时间的函数关系式为，
当时，令，即，可得，解得，
所以学校应安排工作人员至少提前1小时进行消毒工作.
故答案为：.
16. 设函数，当时，恒有成立，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将化为，和比较系数，求得x的值，结合恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意得，
令，解得或，
当时，，即，
当时，，则，
验证：时，，，即时，
取到最小值，
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）
（2）
【答案】（1）；（2）0
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求得答案；
（2）根据指数幂的运算性质以及对数的运算法则，即可求得答案.
【详解】（1）
；
（2）
.
18. 已知集合.
（1）若集合是集合的充分条件，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将原问题等价转换为由包含关系求参数，根据包含关系列出不等式组求解即可.
（2）由题意分集合是否为空集进行讨论即可，讨论时，根据题意列出相应的不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意若集合是集合的充分条件，则当且仅当，即当且仅当，
解得，即的取值范围为.
【小问2详解】
当时，满足题意，即满足，此时，解得；
当且时，当且仅当或，解得或；
综上所述，若，则的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）求；
（2）探究单调性，并证明你的结论；
（3）若为奇函数，求满足的的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式，将代入，即得答案；
（2）判断函数单调递增，根据函数单调性的定义即可证明该结论；
（3）根据函数为奇函数求出a，则根据函数的单调性解不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
由于，故；
【小问2详解】
探究：在R上单调递增，证明如下：
的定义域为R，任取，
则，
因为，，
故，即，
所以在R上单调递增；
【小问3详解】
因为为奇函数，故，
即，即，
所以，则，即，
而在R上单调递增，故，
即的取值范围为.
20. 已知函数当时，
（1）若，求值；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解.
（2）先利用换元法由（1）可得；再利用二次函数的单调性求出最值即可得出答案.
【小问1详解】
，.
，解得：.
.
【小问2详解】
，.
，
.
则，.
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，.
又当时，；
当时，.
当时，
故函数的值域为.
21. 若正数满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接运用基本不等式进行求解即可；
（2）根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
因为正数满足，
所以有，当且仅当时取等号，
即当时，有最大值
【小问2详解】
因为正数满足，
所以有，
于是有，
当且仅当时取等号，
即当且仅当时，有最小值.
22. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于x的方程有4个不同的解，记为，且恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）将函数化为分段函数，根据对数函数的单调性及复合函数的单调性直接得解；
（2）根据题意可得出，分离参数可得，令，换元后利用均值不等式求解.
【小问1详解】
（1）.
根据复合函数单调性的知识得的单调递增区间有．
【小问2详解】
由（1）可知
化简可得：
∵
∴
∴
∴
∵恒成立
∴
∴对任意恒成立
即：
令，则
∴（当且仅当时，等号成立）
∴．
【点睛】关键点点睛：根据题意中方程有四个解可转化出三者与的关系，进而将不等式转化为关于的不等式，为分离参数创造条件，分离参数后，整体换元是第二个关键点，
由换元，化简变形成为能够使用均值不等式的结构，求出函数最值，得到参数的取值范围，对能力要求较高，属于难题.