2023-2024学年浙江省金华市曙光学校高一上学期第二次阶段考试（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省金华市曙光学校高一上学期第二次阶段考试（12月）数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】，
故选：D.
2．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.
【详解】因为由能推出；由不能推出；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．命题“”的否定为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题知：
“”的否定为“”，
故选：D.
4．若函数，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域求解即可.
【详解】根据题意可得，,
解得,,
故选：A
5．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将，，代入求出，解不等式即可.
【详解】解：，
，
，
，
即，
解得：，
即.
故选：A.
6．已知，若，则所在区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理求解即可.
【详解】由已知得函数连续且单调递增，
因为，，
所以，
由零点存在性定理可知存在使得，
故选：.
7．扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以该折扇的扇面的面积为.
故选：D
8．设是定义在上的奇函数，且当时，．若当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先确定的解析式及单调性，再利用单调性去掉，将恒成立问题转化为最值问题求解即可.
【详解】由已知当时，，
，在R上单调递增，
所以，即，
所以有，所以在上恒成立，
所以，解得，
故选：D.
二、多选题
9．与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】借助终边相同的角的定义即可得.
【详解】与终边相同的角为，
对A选项：，故A错误；
对B选项：，故B正确；
对C选项：，故C正确；
对D选项：，故D错误.
故选：BC.
10．下列式子中正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
【答案】AD
【分析】根据指对数互化以及指对数的运算性质判断四个选项即可.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选：AD.
11．已知函数，下面命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为D．函数在内单调递减
【答案】ACD
【分析】分析函数的奇偶性从而可判断AB选项；结合指数函数的值域判断的值域即可判断C；根据复合函数的单调性判断的单调性即可判断D.
【详解】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称，
又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误；
又因为，，
所以，所以，故C正确；
因为，时，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
12．定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在区间上有最大值
【答案】ABC
【分析】令，求得，可判定A正确；令，推得，可判定C正确；用代替，可判定B正确；由，因为的符号不确定，可判定D不正确.
【详解】由定义在上的函数满足，
令，可得，可得，所以A正确；
令，可得，因为，可得，
所以函数为定义域上的奇函数，所以C正确；
用代替，可得，所以B正确；
任取，且，则，
则，
其中的符号不确定，所以函数的单调性不确定，
所以在区间上的最大值不一定为，所以D不正确.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】
【分析】利用分段函数的解析式代入直接计算即可.
【详解】易知，故.
故答案为：.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】利用弦化切求解即可.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：
15．已知幂函数在上是减函数，则 .
【答案】
【分析】根据幂函数的性质求解.
【详解】因为是幂函数，
所以幂函数，即，
解得或，
又因为幂函数在上是减函数，
所以，所以，
故答案为：.
16．已知为定义在上的奇函数，且，当时，，则当时，的所有解的和为 ．
【答案】4
【分析】先由时，，根据函数奇偶性，求出时的解析式，再由得到函数周期，作出函数在的图像，结合图像，即可求出结果.
【详解】当时，，．
又为奇函数，当时，，即时，．
又，的图象关于直线对称，显然函数的周期，由此可得在上的图象如图所示，
由图可知在上，函数的图象与直线共有四个交点，
在上共有四个解，从左到右分别记为，，，，
则与，与都关于直线对称，
，，．
故答案为
【点睛】本题主要考查方程的根的和，熟记转化与化归的思想，将方程的根转化为函数图像的交点，根据函数奇偶性与周期性，结合函数图像，即可求解，属于常考题型.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)8
【分析】利用对数与指数的运算法则，结合对底的换底公式即可得解.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．（1）若，求和的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1），；（2）2
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系以及角的范围，求解即可得出答案；
（2）根据“1”的代换化为齐次式，分子分母同时除以，化为只含有的式子，代入即可得出答案.
【详解】（1）由已知，
可得，
所以.
（2），
.
19．已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)直接写出函数的单调递减区间；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据对数函数的性质即可列不等式求解，
（2）根据复合函数的单调性原则，结合对数和二次函数的性质即可求解，
（3）根据函数的奇偶性以及单调性即可求解.
【详解】（1）的定义域满足，解得，
故定义域为
（2），
由于在单调递减，而在单调递增，故在单调递减，故单调递减区间为，
（3）由于定义域为关于原点对称，且，故为偶函数，且在单调递减，
因此由可得，解得或，
故的取值为：或
20．已知函数（为常数且）的图象经过点
(1)试求的值；
(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，解出即可；（2）不等式参变分离后可化为，求得的最小值为2，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数图像经过，
所以，解得，
故的值为，的值为
（2）原不等式为，
即在时恒成立，
而在时单调递减，
故在时，有最小值为2，
故．
所以实数的取值范围是．
21．小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取）
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）
【答案】(1)，
(2)54天
【分析】（1）由题意可得，进而结合指数与对数的相互转化求解即可；
（2）令，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）依题意可得，即，
因为，所以，
因为，所以，
即，则.
（2）令，
得，
故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天.
22．已知函数的图象过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上有零点，求整数的值；
【答案】(1)；
(2)2.
【分析】（1）由已知可得，解得，即可求出、;
（2）由已知可推得在区间上有解，等价于函数与在上有交点.求出函数的值域即可得到的范围，再结合定义域以及可得的值.
【详解】（1）函数的图像过点，
所以，解得，
所以函数的解析式为，
所以.
（2）由（1）可知在上有零点.
令，得，所以在区间上有解，
即在区间上有解.
设，则函数在区间上有零点，
等价于函数与在上有交点.
，且.
则.
因为，且，所以，，.
所以，所以，所以在上单调递增.
又，，所以有时，，
所以在上的值域为.
函数图象如下图
由图象可知，当时，函数与在上有交点.
即当时，函数在区间上有零点.
又恒成立，所以恒成立，则.
又，所以的取值为2.