人教版七年级数学上册同步备课 《第三章》3.4.1 实际问题与一元一次方程(一) 配套问题和工程问题（教学设计）

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3.4.1 实际问题与一元一次方程(一) 配套问题和工程问题 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“一元一次方程”3.4.1 实际问题与一元一次方程(一) 配套问题和工程问题，内容包括：列一元一次方程解决配套问题和工程问题.2.内容解析这一节是人教版新课标实验教材中学数学七年级上册第三章第四节第一课时的内容，是学生学习了代数式、简易方程及一元一次方程的解法后一个理论联系实际的最好教材，也是前一部分知识的应用与巩固.所有列方程解应用题的基本方法都与列一元一次方程解应用题的基本方法类似，所以这一节又是整个列方程解应用题的重点.列方程解应用题体现了现实世界中事物的相互联系，学生从这些联系中看问题的同时也为今后学习函数奠定了基础.在能力方面，无论是逻辑思维能力、计算能力.还是分析问题、解决问题的能力，都可在本单元教学中得以培养和提高.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.二、目标和目标解析1.目标(1)理解配套问题和工程问题的背景.(2)掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(3)分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系. 2.目标解析掌握配套问题和工程问题中有关量的基本关系式，并会寻求等量关系列方程求解提高利用一元一次方程解决实际问题的能力.让学生亲身经历和体验运用方程解决实际问题的过程，培养学生用数学的眼光去看待、分析现实生活中的情境：并能作出相应的选择.经历将实际问题转化为数学问题的过程，进一步体会并认识到方程是刻画现实世界的一个很有效的数学模型，渗透数学建模思想.培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力.通过学习，进一步认识到方程与现实世界的密切联系感受数学的应用价值，增强用数学的意识，从而激发学生学习数学的热情体会在解决问题的过程中同学之间交流合作的重要性让学生在探究中感受学习的快乐.三、教学问题诊断分析本节课教学的对象是七年级学生，他们思想活跃，兴趣广泛，善于思考.在进行教学设计时力争从教学内容、教学形式、教学评价中体现出趣味性和切近生活的原则.通过教学活动，让学生自主探究，引导他们由浅入深、步步推进，从广度、高度和深度上开拓学生的思维，也有助于学生形成完整的知识体系.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：将实际问题抽象为方程的过程中，如何找等量关系.四、教学过程设计（一）自学导航1.一个三角形的三边长度的比是3:4:5，最短的边比最长边短4，则三边各是多少？解：设最短边为3x，则最长边为____，根据题意，列得方程____________.2.铅笔每支1元，钢笔每支8元. 小明买回铅笔钢笔共8支，用了22元. 问小明买了铅笔钢笔各多少支？解：设小明买了x支铅笔，则买了_______支钢笔，根据题意，列得方程______________.3.甲队有32人，乙队有40人，现在从乙队抽调 x 人到甲队，使得甲队的人数是乙队人数的2倍，根据题意，列得方程_________________.（二）情境引入生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？（三）考点解析例1.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？提示：这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据.分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套.螺母总量=螺钉总量×2列表分析：解：设应安排x名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.根据螺母数量应是螺钉数量的2倍，列出方程2000(22－x)＝2×1200x .解方程，得 x＝10.所以 22－x＝12.答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.思考：如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？解：设应安排x名工人生产螺母，(22－x)名工人生产螺钉.根据螺母数量应是螺钉数量的2倍，列出方程2×1200(22－x)=2000x解方程，得 x=12所以 22－x=10答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.思考：本题还有其他做法吗？分析：从螺钉的角度来看，螺钉数等于套数；从螺母的角度来看，螺母数等于套数的2倍.可以根据生产的套数是一样的建立方程解决.列表分析：解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.依题意，得 解方程，得 x＝10.所以 2－x＝12.答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.【方法归纳】解决配套问题的思路：1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.例2.某服装厂要生产一批校服，已知每3m的布料可以做2件上衣或3条裤子，要求一件上衣和两条裤子配一套，现有1008m的布料，应怎样计划用料才能做尽可能多的成套校服？校服有多少套？ 解：设用x m布料做上衣，则用(1008－x)m布料做裤子.由题意，得23x×2=1008－x，解得x=432.所以1008－x=576，23x=288.答：用432m布料做上衣，576m布料做裤子，刚好能做288套校服.【迁移应用】1.某防护服厂有54人，每人每天可加工防护服8件或防护面罩10个，已知一件防护服配一个防护面罩，为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排多少人生产防护服？解：设需要安排x人生产防护服，则安排(54－x)人生产防护面罩.由题意，得8x=10(54－x)，解得x=30.答：需要安排30人生产防护服.2.一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1m3木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有5m3木料，要使做出的桌面和桌腿恰好配成方桌，应用多少木料来做桌面？能配成多少张方桌？解：设应用xm3木料做桌面，则用(5－x)m3木料做桌腿.根据题意得50x×4=300(5－x)，解得x=3.则能配成方桌50×3=150(张).答：应用3m3木料做桌面，能配成150张方桌.（四）自学导航做某件工作，甲单独做要8时才能完成，乙单独做要12时才能完成，问：①甲做1时完成全部工作量的几分之几？_______.②乙做1时完成全部工作量的几分之几？_______.③甲、乙合做1时完成全部工作量的几分之几？_______.④甲做x时完成全部工作量的几分之几？_______.⑤甲、乙合做x时完成全部工作量的几分之几？_______.⑥甲先做2时完成全部工作量的几分之几？_______；乙后做3时完成全部工作量的几分之几？_______；甲、乙再合做x时完成全部工作量的几分之几？_______；三次共完成全部工作量的几分之几？______________；结果完成了工作，则可列出方程：________________.（五）考点解析例3.整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？分析：这里可以把总工作量看作1；工作量=人均效率×人数×时间.人均效率(一人做1h完成工作量)为( )x人1h完成的工作量( )x人4h完成的工作量( )增加2人后再做8h，完成工作量为(　　　　 　 )这两个工作量之和为( ).解：设安排x人先做4h. 根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程 解方程，得 4x+8(x+2)=404x+8x+16=4012x=24x=2答：应安排2人先做4h.【总结提升】解决工程问题的基本思路：1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作“1”.例4.某村经济合作社决定把22t竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3t，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5t，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？分析：相等关系：改进方法前的工作量+改进方法后的工作量=22t.解：设改进加工方法前用了x天，则改进加工方法后用了(6－x)天.根据题意，得3x+5(6－x)=22，解得x=4.所以6－x=2 答：改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天.【迁移应用】1.将一段长为1.2km的河道的整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时60天.已知甲队每天整治24m，乙队每天整治16m，则甲队整治河道_______m，乙队整治河道_______m.2.有一段长为146m的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26m.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2m，按此速度施工，甲、乙两个工程队还需联合工作______天.例5.有一批零件加工任务，甲单独做要40h完成，乙单独做要30h完成.甲做了几小时后另有任务，剩下的量由乙单独完成，最终完成时乙比甲多做了2h.甲做了多少小时？解：设甲做了xh，则乙做了(x+2)h.x根据题意，得140+x+330=1，解得x=16.答：甲做了16h.【迁移应用】1.一项工程，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成，现甲队先做2天，余下的工程由两队共同做x天刚好可以完成，则由题意可列出的方程是___________________.2.加工一批零件，由一个人做要100h完成，现计划由若干人先做2h，再增加5人与他们一起做9h，可完成这项工作的3950.假设这些人50的工作效率相同，先做2h的有多少人？解：设先做2h的有x人.根据题意，得x100×2+(x+5)100×9=3950.解得x=3.答：先做2h的有3人.例6.【分类讨论思想】某玩具公司要生产若干件高级玩具，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批玩具，已知甲厂单独加工这批玩具比乙厂单独加工这批玩具多用20天，甲厂每天可加工16 件玩具，乙厂每天可加工24件玩具，玩具公司每天需付给甲厂800元加工费，每天需付给乙厂1200元加工费.(1)这个玩具公司要生产多少件高级玩具？(2)在加工过程中(无论单独加工，还是两厂合作)，玩具公司需派一名技术员每天给加工厂提供指导，并为该技术员提供每天20元的额外补助，玩具公司制订玩具加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作完成请你帮助玩具公司选择一种既省钱又省时的加工方案.解：(1)设这个玩具公司要生产x件高级玩具.由题意，得x16－x24=20，解得x=960.答：这个玩具公司要生产960件高级玩具.(2)分三种情况讨论：①甲厂单独加工：耗时96016=60(天)，费用为60×(20+800)=49200(元);②乙厂单独加工：耗时96024=40(天)，费用为40×(1200+20)=48800(元);9③两厂共同加工：耗时96016+24=24(天)，费用为24×(800+1200+20)=48480(元).所以由两厂合作完成时，既省钱又省时.【迁移应用】为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目.某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元.(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.(时间按整周计算)解：(1)设甲、乙两工程队合作施工需要x周完成.根据题意，得(13+16)x=1，解得x=2.所以(8+3)×2=22(万元).答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共需耗资22万元.(2)因为乙工程队每周耗资较少，为最大限度节省资金，则乙工程队应尽可能多做.设先由甲、乙两工程队合作施工y周，剩下的工作量由乙工程队单独完成.根据题意，得(13+16)y+4−y6=1，解得y=1.所以4－y=3.答：先由甲、乙两工程队合作施工1周，再由乙工程队单独施工了周，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.（六）小结梳理用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：列方程解决实际问题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案 (包括单位)．五、教学反思