考点09 数列 （选填题8种考法）专练-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）.zip

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1．（2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
【解析】由题意可得：当时，，即， ①
当时，，即， ②
联立①②可得，则.
故选：C.
2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得，，故选：C.
3．（2023·四川南充·模拟预测）等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A．60B．50C．D．30
【答案】D
【解析】由和，
由于为等差数列，且，所以当时，,
故的最大值为，
故选：D
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．37B．35C．31D．29
【答案】C
【解析】，，解得，
与的等差中项为，解得，
设等比数列的公比为，则，解得，
，，故选：C．
5．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列满足且是前项和，且，则（ ）
A．2024B．2023C．1012D．1011
【答案】C
【解析】由题意，，，
则数列为等差数列，设公差为，，即，则，则，
则所以，（常数），则也为等差数列.
则数列的公差为.
所以
所以.
故选：C
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9B．10C．17D．18
【答案】C
【解析】因为，所以异号，
因为，所以，
又有，所以，即，
因为，，
所以的最大整数n为17.
故选：C
7．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．11
【答案】A
【解析】设，
则
，
所以.
故选：A
8．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
9．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得 ，
故 .
故选：A.
10．（2023·江西景德镇·统考三模）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
.
故选：D.
11．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为成等比数列，可得，
则，（当且仅当时取等号），
由于在三角形中，且在上为减函数，
所以角的取值范围是：.
故选：B.
12．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知正项等比数列，若，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】B
【解析】根据等比中项，，
又是正项数列，故（负值舍去）
设等比数列的公比为，由，
即，解得（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
13．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．10
【答案】B
【解析】由正项等比数列可知，，成等比数列，
则，又，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
故选：B.
14．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为（），
则，解得：，
又，
所以，
故选：C.
15．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
16．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】因为等差数列的公差为，
所以，
所以，
所以数列是周期为3的数列，
又，所以或或，
则符合题意，此时，
所以，
所以，排除,只有符合,
故选：.
17．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
18．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
19．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
20．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
21．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
【答案】C
【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为万元，
故选：C.
22．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（ ）（参考数据）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，设一开始锶90质量为1，
则每年的剩余量构成以为公比的等比数列，
则经过800年锶90剩余质量为，
两边取常用对数可得：，
所以，
故选：B
23．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（ ）
A．B．7C．13D．26
【答案】C
【解析】由题意知：这个人原来持金为斤，
第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；
第3关收税金为斤，
以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，
所以，
即，解得，
又由，所以.
故选：C.
24．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
25．（2023·江苏·统考模拟预测）已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，设方程的三个不同的实数根从小到大依次为，，
则，解得，
所以.
故选：A.
26．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为．若数列是等比数列；，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若是等比数列，设公比为k，则，
，
于是，
即成立；
若，
取，显然不是等比数列，故是的充分不必要条件．
答案：A
27．（2023·新疆·统考三模）已知数列中，，若（），则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．（）D．
【答案】D
【解析】对于A项，由（）得，
所以，，
又因为，所以，
所以，故A项正确；
对于B项，由A项可知，，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
假设当，，成立，则，
令，则，
当，，单调递减，
所以，即，
所以，
所以有，
所以对于任意，，成立，故C项正确；
对于D项，由A项知，不满足，故D项错误.
故选：D.
28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）养过蜂的人都知道，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是有母无父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第代祖先数目如下图所示：

若用表示一只雄蜂第代祖先的个数，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，当时，，
A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，
故，C错误；
D选项，
，
故，D错误.
故选：B
二、多选题
29．（2023·湖南·校联考模拟预测）若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时，B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29D．公差d的取值范围是
【答案】ABC
【解析】当时，公差，，A正确．
因为是正项等差数列，所以，即，且，
所以公差的取值范围是，D错误．
因为，所以的取值范围是，B正确．
，当为整数时，的最大值为29，C正确．
故选：
30．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等差数列
【答案】ABC
【解析】设等差数列的公差为，则，∴．
对于A选项，，∴为等差数列，A正确；
对于B选项，令，
∴，
故数列是等差数列，B正确；
设等比数列的公比为，
对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；
对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
31．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
【答案】ACD
【解析】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，.
对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；
对于B选项，令，可得，B错；
对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；
对于D选项，，则，
所以，，
故数列为等差数列，D对.
故选：ACD.
32．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【解析】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
33．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，，B为坐标原点，点P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．为公差为2的等差数列B．为公比为的等比数列
C．D．前n项和
【答案】CD
【解析】对AB，由点P在圆上，则由参数方程得，
则，∴.
对于，存在数列，，使得，即①，②，
②①得，
令，则，则是以为首项，
公比为的等比数列.
则，AB错；
对C，，C对；
对D，，
，
两式相减得，
.
∴，D对.
故选：CD.
34（2023·全国·模拟预测）已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（ ）
A．取最大值时，B．当取最小值时，
C．当取最大值时，D．的最大值为
【答案】AD
【解析】由题意知，则，因为，
所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
当取最大值时，，此时，则，，
故，故A正确；
当取最小值时，，此时，则，，
故，故B不正确；
由，知，
即，当且仅当时取等号，
故当取最大值时，，
此时，故C不正确，D正确．
故选：AD
35．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．
B．若，则的最小值为
C．取最小值时
D．设，则
【答案】AC
【解析】对于选项A：设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以，故A正确；
对于选项B：若，则，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
但，所以的最小值不为，故B错误；
对于选项C：令，解得，
又因为，可得的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以取最小值时，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
可得，
两式相减得：
，
所以，故D错误；
故选：AC.
36．（2023·重庆·校联考三模）已知数列 满足，，的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由，，得，而，
因此数列是首项为，公比为2的等比数列，，
所以，B正确；
由，A正确；
，
则有2，
两式相减得，D错误；
由，C错误.
故选：AB
37．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，故A正确；
由知，，
两式相减得，
故，故当时，为常数列，
故，故，故，故B正确；
，故C错误；
，
故，故D正确.
故选：ABD.
38．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为，即，
所以数列为递增数列，可得，故A正确；
对于选项B：因为，则，
两边平方整理得，故B正确；
对于选项C：因为数列为递增数列且，则为递减数列，
所以为递减数列，不存在最小值，故C错误；
对于选项D：因为，整理得，
两边平方得，即，
可得，
所以，
即，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
39．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
40．（2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【解析】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
41（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【解析】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
42．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
43．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设数列的通项公式为，其前项和为，则 .
【答案】100
【解析】当或，时，，；
当，时，，，
当，时.
∴，
∴.
故答案为：100.
44．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
故答案为：.
45．（2023·江苏·统考模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为 .
【答案】
【解析】设的前n项和为，则，
又，
故
，
故，
故答案为：.
46．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 .
【答案】
【解析】因为，
所以，将代入，得，
所以，，所以，
，
又因为，所以，，即，
因为，所以，，
当且仅当时等号成立，
所以，
因为，所以当时，
最大，
所以，
即时，有最大值.
故答案为：.
47．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为 .
【答案】
【解析】在数列中，又，且，
两式相除得，，
∴数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则，∴ ，
当，，
当时，，也满足上式，
∴数列的通项公式为，
则，
数列的前2023项和为.
故答案为：
48．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为 .
【答案】2520
【解析】由，得，
所以，
所以为奇数时，故都是集合中的元素.
又，所以为偶数时，
由得，所以2，4，6，8是集合中的元素，
则集合中所有元素的和为.
故答案为：2520.
49．（2023·陕西·校联考三模）已知数列的前n项和，设为数列的前n项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，
当时，满足上式，
所以.
所以，
所以，
由，可得，即，
因为函数在单调递增，
所以当时，有最小值为10，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
50．（2023·陕西铜川·校考一模）已知数列中，，且，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总有，则t的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】由得，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，即．
所以．
故
，
易知数列为递增函数，且，所以，
故，解得或．
故答案为:.