专题10 三角函数的性质（选填题10种考法）讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）

这是一份专题10 三角函数的性质（选填题10种考法）讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考），共13页。试卷主要包含了扇形的弧长与面积，三角函数的定义，同角三角函数，恒等变化，角的拼凑，三角函数的性质，w的求法，与其他知识的综合运用等内容，欢迎下载使用。

考法一 扇形的弧长与面积
【例1-1】（2023·甘肃定西·统考一模）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字作画，题字作画的部分多为扇环，如图在长为50，宽为20的矩形白纸中做一个扇环形扇面，扇面的外环弧线长为45，内弧线长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为14（外环半径与内环半径之差），若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023·全国·模拟预测）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，他是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，如图所示．现在我们要制作一个高为10的柱形几何体，其侧面与底面垂直，底面为一莱洛三角形ABC，且正三角形ABC边长为2，则该几何体的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台下列说法错误的是（ ）

A．高为B．体积为
C．表面积为D．内切球的半径为
3．（2023·河北·统考模拟预测）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则两圆锥侧面展开图的圆心角之和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．B．C．D．
考法二 三角函数的定义
【例2-1】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两个点，，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【例2-2】（2023·贵州遵义·统考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1.（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
2（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3（2024·江西·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则（ ）

A．B．2C．D．3
4．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）（多选）已知，为坐标原点，终边上有一点.则（ ）
A．B．
C．D．
考法三 同角三角函数
【例3-1】（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．2
3．（2023·河北沧州·校考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
考法四 恒等变化
【例4-1】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）（多选）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【例4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变化】
1．（2023·浙江·模拟预测）（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·模拟预测）（多选）已知，且，，，则（ ）
A．的取值范围为B．存在，，使得
C．当时，D．t的取值范围为
考法五 角的拼凑
【例5-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·河南开封·统考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则 .
4．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知​，则​ ．
考法六 三角函数的性质
【例6-1】（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·陕西西安·校考一模）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．的图象向右平移个单位得的图象
D．在区间上单调递减
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．在上的值域为
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考法七 正余弦定理
【例7-1】（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【例7-3】（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）（多选）中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（ ）
A．若，则必有两解
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则一定为直角三角形
D．若，且该三角形有两解，则的范围是
考法八 w的求法
【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【例8-2】（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是 .
4．（2023·四川宜宾·统考二模）已知函数，给出下列4个结论：
①的最小值是；
②若，则在区间上单调递增；
③若，则将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象；
④若存在互不相同的，使得，则.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②
考法九 实际应用
【例9-1】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（ ）
A．15千里B．14千里C．13千里D．12千里
【例9-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1.（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
2.（2023·河南·校联考模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考法十 与其他知识的综合运用
【例10-1】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点D．在上单调递增
【例10-2】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例10-3】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）的展开式中的系数为12，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为______．