专题11 计数原理（选填题10种考法）讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）.zip

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考法一 排队问题
【例1】（2023春·重庆沙坪坝）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）．
A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法
B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法
C．5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法
D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
【变式】
1．（2023秋·高二课时练习）(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（ ）
A．A与B相邻有48种摆法
B．A与C相邻有48种摆法
C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法
D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法
2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（ ）
A．若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种
B．若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种
C．若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种
D．若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种
3．（2023春·河北石家庄）（多选）现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）
A．个空位全都相邻的坐法有种
B．个空位中只有个相邻的坐法有种
C．个空位均不相邻的坐法有种
D．4个空位中至多有个相邻的坐法有种
考法二 排数问题
【例2】（2023春·江苏泰州）（多选）从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（ ）
A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125
B．若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375
C．若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70
D．若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京）（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可以组成个四位数
B．可以组成个四位偶数
C．可以组成个能被3整除的四位数
D．将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310
考法三 分组分配问题
【例3】（2022·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
【变式】
1．（2023·全国·模拟预测）某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有（ ）
A．54种B．66种C．90种D．112种
2．（2023·湖南岳阳·湖南省平江县第一中学校考模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·福建泉州）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
考法四 涂色问题
【例4】（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023春·江苏连云港 ）（多选）如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（ ）
A．共有种不同方案
B．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案
C．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案
D．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案
2.（2023·重庆·统考模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有 种．

3（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有 种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有 种.
考法五 最短距离
【例5】（2023云南）（多选）某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（ ）

A．种B．种C．12种D．32种
【变式】
1．（2023·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条．
A．23B．24C．25D．26
2（2023·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条B．24 条C．25条D．26 条
3（2023·北京）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
考法六 指定项系数
【例6-1】（2023·天津·统考高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
【例6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【例6-3】（2023·福建·校联考模拟预测）展开式中的常数项为 .（用数字做答）
【例6-4】（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知，则 .
【变式】
1（2022·天津·统考高考真题）的展开式中的常数项为 .
2．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
3．（2023·福建龙岩·统考二模）已知的展开式中的系数为21，则 ．
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）若，则 .
5（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．B．C．D．
考法七（二项式）系数和
【例7-1】（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）（多选）已知多项式，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）（多选）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东日照·三模）（多选）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
考法八 二项式系数的性质
【例8-1】（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为 .
【例8-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是 .
【例8-3】（2023·山东·模拟预测）（多选）的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项
【变式】
1．（2023·湖南郴州·统考一模）在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为 .
2．（2023·四川雅安·统考一模）的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
3（2023·全国·模拟预测）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考法九 二项式定理的应用
【例9】（2023·江苏无锡 ）（多选）若，则（ ）
A．可以被整除
B．可以被整除
C．被27除的余数为6
D．的个位数为6
【变式】
1.（2022·潍坊模拟）除以7的余数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2.（2022广东）的计算结果精确到个位的近似值为
A．106B．107C．108D．109
3．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若，则被5除所得的余数为 ．
考法十 二项式定理与其他知识综合
【例10-1】（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（ ）
A．70B．－70C．56D．－56
【例10-2】（2023·全国·高三专题练习）定义函数，已知为虚数单位，则的展开式中常数项是（ ）
A．180B．120C．90D．45
【变式】
1.（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（ ）
A．70B．－70C．56D．－56
2.（2023·全国·高三专题练习）定义函数，已知为虚数单位，则的展开式中常数项是（ ）
A．180B．120C．90D．45
3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·山西·统考一模）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______.