专题11 计数原理（选填题10种考法）专练-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）.zip

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一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
2．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
【答案】B
【解析】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
3．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
【答案】C
【解析】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，故选：C.
4．（2023·全国·统考高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
5．（2023·北京·统考高考真题）的展开式中的系数为（ ）．
A．B．C．40D．80
【答案】D
【解析】的展开式的通项为
令得
所以的展开式中的系数为
故选：D
6．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
7．（2022·北京·统考高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
8．（2023·全国·模拟预测）为躲过了新冠，躲过了甲流，没躲过呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才过去不久，呼吸道感染的老人又多起来.“最近，呼吸道合胞病毒感染处于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大儿院占据首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一种什么病毒？RSV为副黏病毒科肺炎病毒属的单股负链RNA病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常见病原，RSV通常于上呼吸道中开始感染，引发的症状易与普通感冒相混淆，出现呼吸系统后遗症.5月3日，葛兰素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群体预防RSV感染导致的下呼吸道疾病（RSV-LRTD）.该产品也是全球首款获批上市的RSV疫苗.为研究的临床试验，旨在评估单剂量和接种Arexvy对比安慰剂对RSV-LRTD的预防效果.该实验有3接种组，现有8名志愿者将被派往这3接种组安排接种工作，每个接种组至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2940种B．3000种C．3600种D．5880种
【答案】A
【解析】根据题意派往3个医院的人数分配有2种情况：2、2、4；3、3、2.
不同的安排方法共有（种）．
故选：A．
9．（2023·浙江·校联考二模）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）
A．120B．210C．211D．216
【答案】D
【解析】由题意分三种情况：
第一种情况是3人各站一个台阶，有种；
第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有种，
第三种情况是3人站一个台阶，有种，
所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种．
故选：D．
10．（2023·江西南昌·统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设红木宫灯、檀木宫灯为；楠木纱灯、花梨木纱灯为；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为．
先求仅相邻的种数，把看作一个元素，
当排在首尾时，不同的排法有种；
当排在五个位置中第二、第四位时，不同的排法有种；
当排在第三个位置时，不同的排法有种，
故仅相邻共有种排法，
同理得仅相邻，仅相邻的情况，也都有种排法，
所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为．
故选：A.
11．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）2023年元旦当天，某微信群中有小郭、小张、小陈、小李和小陆五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个66.66元、1个88.88元、1个99.99元（红包中金额相同视为相同红包），则小郭、小张都抢到红包的不同情况有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
【答案】C
【解析】当小郭、小张都抢到66.66元时，有种；
当小郭、小张抢到66.66元和88.88元时，有种；
当小郭、小张抢到66.66元和99.99元时，有种；
当小郭、小张抢到88.88元和99.99元时，有种.
故小郭、小张都抢到红包的不同情况有种.
故选：C
12．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则：参赛学生从《红楼梦》《论语》《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（ ）种．
A．128B．132C．156D．180
【答案】B
【解析】根据题意，学校从5名优秀学生中选出4人去参加3本书籍的知识竞赛，且每本书的知识竞赛都要有该校学生参加，则必会有两人去参加同一书籍的知识竞赛．①若选出的4名学生中不含甲同学，在这4名学生中任意取2人进行捆绑，则不同的安排方法共有种；②若选出的4名学生中含有甲同学，则在剩余的4名优秀学生中再抽取3人，共有种方法；若甲同学和其中1名学生去参加同一书籍的知识竞赛，则共有种方法；若甲同学单独一人去参加某本书的知识竞赛，则共有种方法．根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得，不同的安排方法共有种．综上所述，不同的安排方法共有种．
故选：B．
13．（2023·辽宁沈阳·统考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A．24种B．48种C．72种D．96种
【答案】C
【解析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.故选：C.
14．（2023·江西·校联考模拟预测）中国空间站（China Space Statin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种B．72种C．90种D．360种
【答案】A
【解析】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
15．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）
A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．
【答案】C
【解析】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有种，故A正确；
对于B：先排女生，将4名女生全排列，有种方法，
再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有种方法，故B正确．
对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有种情况，
再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有种情况，
故共有种方法，故C错误．
对于D：若甲站在排尾则有种排法，若甲不站在排尾则有种排法，
故有种排法，故D正确；
故选：C.
16．（2023·广西北海·统考一模）展开式中，的系数为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】由题意，
故的系数为．
故选：C．
17．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）设，则等于（ ）
A．45B．84C．120D．165
【答案】D
【解析】依题意，
.
故选：D
二、多选题
18．（2023春·江苏扬州 ）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
【答案】ACD
【解析】对于A：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列，共种，故A正确；
对于B：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共种，故B错误；
对于C：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共种，故C正确；
对于D：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒，另外3个球3个盒标号不能对应，则共种，故D正确．
故选：ACD．
19．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）某校举办“新生杯”足球比赛，现分配A、B、C、D，4人到甲，乙，丙三场比赛中担任主裁判，每人最多担任其中一场比赛的主裁判，每场比赛主裁判有且只有一人担任则下列说法正确的是（ ）
A．不同的分配方案共有81种
B．不同的分配方案共有24种
C．若A，B两人都不能去甲场比赛担任主裁判，则不同的安排方法共有12种
D．若A，B两人必有一人去甲场比赛担任主裁判，则不同的安排方法共有12种
【答案】BCD
【解析】不同的分配方案共有（种），故B正确，A错误；
若A、B两人都不能去甲场比赛担任主裁判，
第一步：从中选出一人取甲场；
第二步：从剩下的三人中选出两人组成一组；
第三步：将选出的两人分配到乙、丙两场.
则不同的安排方法共有（种），故C正确；
若A，B两人必有一人去甲场比赛担任主裁判，
第一步：从中选出一人取甲场；
第二步：从剩下的三人中选出两人组成一组；
第三步：将选出的两人分配到乙、丙两场.
则不同的安排方法共有（种），故D正确．
故选：BCD．
20．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（ ）
A．不同的摆放方法共有120种
B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种
C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种
D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种
【答案】ACD
【解析】由题可知，不同的摆放方法共有种，A正确；
若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有种，C正确，B不正确；
若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有种，D正确．
故选：ACD
21．（2023春·广东珠海·高二校考阶段练习）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.福清融城中学准备引进5个不同颜色的自动体外除颤器（简称AED），则下面正确的是（ ）
A．从5个AED中随机取出3个，共有10种不同的取法
B．从5个AED中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，共有60种选法
C．把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，共有129种方法
D．把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，每个地方至少放一个，共有150种方法
【答案】ABD
【解析】从5个AED中随机取出3个，共有种不同的取法，故A正确；
从5个AED中选3个分别给3位教师志愿者培训使用，每人1个，
共有种选法，故B正确；
把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，则每个AED都有3种安放方法，故共有种方法，故C错误；
把5个AED安放在宿舍、教学楼、体育馆三个不同的地方，每个地方至少放一个，
可先将5个AED分成3组，每组至少1个，再把这3组AED放在宿舍、教学楼、体育馆三个地方，每个地方放1组，故共有方法，故D正确.
故选：ABD
22．（2023·全国·高三专题练习）生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（ ）
A．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法
B．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法
C．若周一不练习瑜伽，周三爬山.则共有36种不同的安排方法
D．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法
【答案】BCD
【解析】对于A，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有种不同的安排方法，故A不正确；
对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为，故B正确
对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有种不同的安排方法，故C正确；
对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有种不同的安排方法，故D正确.
故选：BCD
23．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A．B．展开式中的常数项为
C．展开式中的系数为160D．展开式中无理项的系数之和为
【答案】BC
【解析】根据题意令，得的展开式中各项系数和为，则，A错误；
则，
又的展开式的通项为，，
所以展开式中的常数项为，B正确；
含的项为，其系数为160，C正确；
展开式中无理项的系数之和为，D错误.
故选：BC.
24．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知展开式中的第三项的系数为45，则（ ）
A．B．展开式中所有系数和为
C．二项式系数最大的项为中间项D．含的项是第7项
【答案】BCD
【解析】展开式的第三项为：，
所以第三项的系数为：，所以，故A错误；
所以，所以令得展开式中所有系数和为，故B正确；
展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；
通项公式为，
令，解得，所以含的项是第7项.故D正确；
故选：BCD.
25．（2023·云南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．展开式中所有项的系数和为B．展开式中二项系数最大项为第1012项
C．D．
【答案】AC
【解析】选项A，令，则展开式的各项系数和为，A 选项正确；
选项B，因为，所以展开式中二项式系数最大项为第1012项与第1013项，B选项错误；
选项C，令，则，令，则，
所以，C选项正确；
选项D，已知关系式两边同时取导，则，
令，则，D选项错误；
故选：AC.
26．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，
令，得，故A正确；
展开式的通项为 ，则，故B错误；
令，得，故C正确；
展开式的通项为，则，其中且，
当为偶数时，；当为奇数时，，
令，可得，故D正确.
故选：ACD.
27．（2023·重庆·统考模拟预测）在展开式中（ ）
A．展开式中不存在含的项B．展开式所有项系数和为243
C．展开式中含项的系数为30D．展开式共21项
【答案】BCD
【解析】表示个相乘，
含的项是在个中选个，个，
所以展开式中含的项的系数为，故A错误；
令，则展开式所有项系数和为，故B正确；
含项是在个中选个，个，个，
所以展开式中含的项的系数为，故C正确；
的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素，
现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，
若只选一个字母则有种，
若选个字母则有种，
若选个字母则有种，
故展开式共有项，故D正确；
故选：BCD
28．（2023·山西晋中·统考二模），若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．的展开式中第1012项的系数最大
【答案】BC
【解析】对于A，，可得，故A错误；
对于B，因为，
令，则，故B正确；
对于C，令，则，
令，则，故C正确；
对于D，由展开式知，，，故第1012项的系数，不会是展开式中系数最大的项，故D错误.
故选：BC
29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为84D．有理项有2项
【答案】BC
【解析】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；
由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，
所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的通项为 ，令，解得．
故常数项为，故C正确；
有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．
故选：BC
30．（2023·湖南·模拟预测）已知，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，
展开式的通项为，
对选项A：令，可得，正确；
对选项B：，所以，正确；
对选项C：令，可得，错误；
对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．
故选：ABD
31．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．第2022行的第1011个数最大
C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3
【答案】ACD
【解析】，，
故A正确；
由图可知：第n行有n个数字，如果n是奇数，则第（最中间的）个数字最大；如果n是偶数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，故错误；
第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第8个数字就是36，故C正确；
依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，
所以，故D正确；
故答案为：ACD.
三、填空题
32（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
33．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则 ， ．
【答案】
【解析】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
33．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】/0.3
【解析】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
34．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
【答案】15120
【解析】4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为．所以所求方法种数为．
故答案为：.
35．（2023·上海·统考模拟预测）现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有 种不同的进站方式（用数字作答）
【答案】720
【解析】将5人分为3组，有和两种情况：
当分组为时：共有；
当分组为时：共有；
综上所述：共有种不同的进站方式.
故答案为：.
36．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知的展开式中的系数为，则实数 ．
【答案】
【解析】二项式展开式的通项为，
所以的展开式通项为或，
所以令，解得，
所以展开式中的系数为，
解得，
故答案为：.
37．（2023·山东烟台·校联考三模）已知的展开式中共有项，则有理项共 项．（用数字表示）
【答案】
【解析】因为的展开式中共有项，所以，
则通项，
当时，，相应项为有理项，故有理项共有4项.
故答案为：4
38．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知的展开式中的系数是，则 .
【答案】
【解析】因为展开式通项为，
令，则展开式中的系数为，
即，解得：或，又，.
故答案为：.
40．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，的展开式中的系数为80，则展开式中的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【解析】的系数为，易知，
所以的系数为.
故答案为：
41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知的展开式中各项系数的和为，则实数的值为 .
【答案】
【解析】因为的展开式中各项系数的和为，
令，可得，解得.
故答案为：.
42．（2023·江西南昌·校考模拟预测）记，则 ．
【答案】
【解析】取，则；
取，则；
两式作和得：，.
故答案为：.
43．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）的展开式中的系数是 ．（用数字作答）
【答案】35
【解析】因为展开式的通项公式为，
令，解得，可得，
所以的系数是35.
故答案为：35.
44．（2023·四川南充·模拟预测）已知关于的展开式中的常数项为，则
【答案】1
【解析】的常数项为，
因此，
故答案为：1
45．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）若，则 ．
【答案】
【解析】由题意，中含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
含的项为；
故.
故答案为：
46．（2023·河南·校联考模拟预测）在的展开式中，按的升幂排列的第三项为 .
【答案】
【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为项．
整个式子中项可由，的展开式中的常数项与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项相乘得到，
其中展开式的通项为（），
展开式的通项为（）；
故所求为．
故答案为：．
47（2023·全国·模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-135
【解析】由二项式的通项，
令，则；令，.
的展开式中的系数为.
故答案为：.
48．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ．
【答案】240或3840
【解析】由于的展开式的二项式系数和为64，即，
解得n＝6．
又由于的展开式系数和为729，令得，即，
解得或-4，
的展开式的通项为，令，
解得，
所以展开式的常数项为，
故当时，，当时，．故答案为：240或3840
49．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若的展开式中存在常数项，则n的一个值可以是______．
【答案】4(答案不唯一)
【解析】，
的展开式的通项公式为，
若是常数项，则，
若是常数项，则，
若是常数项，则，取，得，可得的展开式的常数项为，所以n的一个值可以是4．
故答案为：4（答案不唯一）
50．（2023·全国·高三专题练习）将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为
【答案】
【解析】根据题意，得，
因为且，
当时，，即为有理式；
当时，，即为有理式；
当时，，即为有理式；
当时，，即为无理式；
所以展开式一共有9个项，有3个有理式， 6个无理式，
先对6个无理式进行排列，共有种方法；
再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有种方法；
利用分步乘法计数原理可得，一共有种方法.