专题12 统计概率（选填题10种考法）讲义--2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）.zip

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考法一 特征数
【例1-1】（2023·广西玉林·统考模拟预测）（多选）为深人学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：，.则下列说法正确的有（ ）
A．中位数为90，平均数为89
B．分位数为93
C．极差为30，标准差为58
D．去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小
【例1-2】（2023·浙江·模拟预测）（多选）从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图如图，则（ ）

A．
B．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cm
C．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cm
D．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm
【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【变式】
1．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）
A．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变
B．
C．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数
D．
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）（多选）大连市教育局为了解二十四中学、第八中学、育明中学三所学校的学生文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为120的样本.其中，从二十四中学抽取容量为35的样本，平均数为4，方差为9；从第八中学抽取容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从育明中学抽取容量为45的样本，平均数为8，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.3B．均值为6.5
C．方差为17.52D．方差为18.25
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）（多选）习近平总书记2021年10月22日在深入推动黄河流域生态保护和高质量发展座谈会上的讲话中讲到：“要统筹发展和安全两件大事，提高风险防范和应对能力．高度重视水安全风险，大力推动全社会节约用水，”节约用水对民生各个方面都有着积极影响，某校为开展“节约用水一起行”活动，对20位同学进行了调查，调查了他们每户近9个月每个月的月用水量的平均值y．其中某两个月的月用水量数据分别如下：
15.90 17.47 14.15 13.08 16.98 14.46 14.85 15.03 12.72 16.02
16.30 17.17 17.61 19.39 15.66 17.46 12.07 16.29 13.67 16.31
17.85 16.93 18.49 13.34 15.74 13.04 16.64 13.00 15.89 14.47
17.69 16.20 14.60 13.38 16.07 14.48 14.32 12.76 14.96 15.56
M月 N月（第九个月）
且根据近9个月每个月的月用水量，得到了月平均用水量的回归方程，其中x为月份序数．则（ ）
A．月份M为第五个月．B．月份N的残差的平均值为0.54．
C．月份M的80百分位数为17.65．D．预报第12个月月平均用水量为14.52．
4（2023·福建厦门·统考模拟预测）（多选）今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（ ）

A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数
B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
考法二 统计案例
【例2-1】（2023·重庆万州·统考模拟预测）（多选）新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．
若y关于x的经验回归方程为，则下列说法中正确的有（ ）
A．y与x的样本相关系数B．
C．经验回归方程经过点D．由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.84
【例2-2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）（多选）2022世界兵乓球团体锦标赛在成都举办，中国女队､男队分别于10月8日和10月9日夺得团体赛冠军，国球运动又一次掀起热潮.为了解性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛的关联性，某体育台随机抽取了200名观众进行统计.得到如图所示的列联表.
则下列说法正确的是（ ）
参考公式：，其中.
附表：
A．喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为
B．男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为
C．依据小概率值的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛无关
D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关
【变式】
1．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）（多选）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算，则可以推断出（ ）
A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为
B．该学校男生比女生更经常锻炼
C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则
B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立
3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）（多选）某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（ ）
A．样本中心点为B．
C．，残差为D．若去掉样本点，则样本的相关系数r增大
4（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）（多选）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，…，（其中，），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，回归模型一：；回归模型二：，下列说法正确的是（ ）.

A．茶水温度与时间这两个变量负相关
B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况
C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点
D．当时，通过回归模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为
考法三 正态分布
【例3-1】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19B．12C．6D．5
【例3-2】（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题：
甲：；乙：；
丙：；丁：
如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式】
1．（2023·广西北海·统考一模）（多选）已知变量服从正态分布，当从小变大时，则（ ）
A．变大B．变小
C．正态分布曲线的最高点上移D．正态分布曲线的最高点下移
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（多选）已知某果园的每棵果树生长的果实个数为X，且X服从正态分布，X小于70的概率为0.2，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数在的果树棵数记作随机变量Y，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·吉林白山·统考二模）（多选）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（ ）．（附：若，则，，）
A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为0.7685
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍
考法四 条件概率与全概率
【例4-1】（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·湖南郴州·统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南·校联考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建龙岩·统考二模）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ）

A．B．C．D．
考法五 独立事件与互斥事件
【例5-1】（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【例5-2】（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．A与互斥B．与相互独立
C．D．A与互斥
【变式】
1．（2023·四川宜宾·统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
2．（2023·湖南·校联考二模）随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育．某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四类足球体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择‘5人制’课程”，则（ ）
A．A与为对立事件B．A与互斥C．A与相互独立D．与相互独立
3．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
考法六 概率的性质
【例6-1】（2023·新疆·校联考二模）下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．若，则事件A，B为对立事件
B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
C．若A，B为互斥事件，则
D．若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则
【例6-2】（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
【例6-3】（2023·上海奉贤·统考一模）下列结论不正确的是（ ）
A．若事件与互斥，则
B．若事件与相互独立，则
C．如果分别是两个独立的随机变量，那么
D．若随机变量的方差，则
【变式】
1．（2023·河南·统考三模）设，是两个随机事件，且发生必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知事件满足，，则（ ）
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若与相互独立，则
D．若，则与不相互独立
考法七 概率最值
【例7】（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，击中奇数次为事件，则（ ）
A．若，则取最大值时
B．当时，取得最小值
C．当时，随着的增大而增大
D．当时，随着的增大而减小
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
2．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2023年1月至4月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4月份处于严重干旱状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用水，曲靖市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下：一户居民每月用水量不超过15吨时，收费单价为3.5元/吨；超过15吨但不超过20吨时，超出15吨部分的收费单价为4.75元/吨；超过20吨时属于严重超标，超出20吨部分的收费单价为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某单元内居住着3户人家，每户月用水量严重超标的概率均为且相互独立，该单元有至少两户人家月用水量严重超标的概率为，当时，（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北·统考模拟预测）在概率论中，全概率公式指的是：设为样本空间，若是一组两两互斥的事件，，则对任意的事件，有．若甲盒中有个红球、个白球、个黑球，乙盒中有个红球、个白球、个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球， “从乙盒中取出的球是红球”，若，则的最大值为 ．
4．（2023·山东枣庄·统考二模）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时， ．
考法八 分布列中的期望与方差
【例8-1】（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设，则随机变量的分布列是
则当在内减小时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
【例8-2】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）随机变量的分布列如下表，且，则（ ）
A．10B．15C．40D．45
【变式】
1．（2023·河北·校联考模拟预测）已知随机变量X的分布列为（ ）
若t在内变化，当X的数学期望取得最小值时，（ ）
A．B．C．0.15D．0.25
2．（2023·四川巴中·统考一模）若一组样本数据的期望和方差分别为，则数据的期望和方差分别为（ ）
A．3,1B．11,1C．D．
3．（2023·江苏苏州·苏州市第五中学校校考模拟预测）、两组各3人独立的破译某密码，组每个人译出该密码的概率均为，组每个人译出该密码的概率均为，记、两组中译出密码的人数分别为、，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
考法九 图表信息读取
【例9】（2023·广东深圳·校考二模）（多选）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（ ）

A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
【变式】
1．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）（多选）为了研究某城市甲､乙两个智能手机专卖店的销售状况，统计了2023年4月到9月甲､乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在内
B．根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势
C．根据甲､乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小
D．根据甲､乙两店的营业额折线图可知，月份的总营业额甲店比乙店少
2．（2023·广东梅州·统考三模）（多选）某公司经营五种产业，为应对市场变化，在五年前进行了产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比五年前增加了一倍，调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．调整后传媒的利润增量小于杂志
B．调整后房地产的利润有所下降
C．调整后试卷的利润增加不到一倍
D．调整后图书的利润增长了一倍以上
3．（2023·河北·统考模拟预测）（多选）某地环保部门公布了该地两个景区2016年至2022年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的散点图，则由该图得出的下列结论中正确的是（ ）

A．景区A这7年的空气质量优良天数的中位数为254
B．景区这7年的空气质量优良天数的第80百分位数为280
C．这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区的空气质量优良天数的标准差大
D．这7年景区A的空气质量优良天数的平均数比景区的空气质量优良天数的平均数大
考法十 概率与其他知识综合
【例10-1】（2023·四川遂宁·统考三模）已知，从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为 .
【例10-2】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为 ．
【变式】
1．（2023·河南安阳·统考三模）半圆弧上有包括直径端点在内的5个点，从中随机选取3个点，则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为 .
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是 ．
3．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）“康威圆定理”是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一，定理的内容是：如图，的三条边长分别为a，b，c（即，，）．延长线段SR至点A，使得，以此类推得到如图所示的点B，C，D，E，F，那么这六点共圆，此圆称为康威圆．若，，，往此康威圆内投掷一点，该点落在内的概率为 ．

月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
性别
观看兵乓球比赛
喜欢
不喜欢
男
60
40
女
20
80
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
经常锻炼
不经常锻炼
男
40
10
女
30
20
a
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
x
5
6
8
9
12
y
17
20
25
28
35
0
1
0
2
X
t
6
P
0.3
0.2
0.2
0.3