2023-2024学年辽宁省数学九年级第一学期期末检测模拟试题

这是一份2023-2024学年辽宁省数学九年级第一学期期末检测模拟试题，共18页。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE=4，则DF的长是（ ）
A．B．C．10D．6
2．如图，正方形的边长为4，点在的边上，且，与关于所在的直线对称，将按顺时针方向绕点旋转得到，连接，则线段的长为（ ）
A．4B．C．5D．6
3．在一个不透明的袋子中共装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为，则这个袋子中蓝球的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．12个
4．已知⊙O的直径为8cm，P为直线l上一点，OP＝4cm，那么直线l与⊙O的公共点有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
5．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（ ）
A．10°B．30°C．40°D．70°
6．如图，DE是的中位线，则与的面积的比是
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：9
7．如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC～△EDC的是（ ）
A．∠A＝∠EB．C．AB∥DED．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙0，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
9．下列汽车标志中，是中心对称图形的有 ( )个.

A．1B．2C．3D．4
10．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
11．把抛物线的图象绕着其顶点旋转，所得抛物线函数关系式是（ ）
A．B．C．D．
12．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标D．开口向上，顶点坐标
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为__．
14．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，图像从左至右呈下降趋势.其中正确的结论是_______________（只填序号）.
15．小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示0~9），由于她忘记了密码的末位数字，则小丽能一次支付成功的概率是__________.
16．步步高超市某种商品为了去库存，经过两次降价，零售价由100元降为64元．则平均每次降价的百分率是____________．
17．已知函数，如果，那么___________.
18．如图，正方形网格中，5个阴影小正方形是一个正方体表面展开图的一部分．现从其余空白小正方形中任取一个涂上阴影，则图中六个阴影小正方形能构成这个正方体的表面展开图的概率是______ ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与X轴交于点C，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．
（1）填空：m＝ ，n＝ ．
（2）求一次函数的解析式和△AOB的面积．
（3）根据图象回答：当x为何值时，kx+b≥（请直接写出答案） ．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与双曲线y=(k≠0)相交于A，B两点，且点A的横坐标是1．
(1)求k的值；
(2)过点P(0，n)作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M，与双曲线y= (k≠0)交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．
21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF，BE．
（1）求证：直线CF为⊙O的切线；
（2）若DE＝6，求⊙O的半径长.
22．（10分）为了创建文明城市，增弘环保意识，某班随机抽取了8名学生（分别为A，B，C，D，E，F，G，H），进行垃圾分类投放检测，检测结果如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，
（1）检测结果中，有几名学生正确投放了至少三类垃圾？请列举出这几名学生．
（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．
23．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（Ⅰ）若花园的面积是252m2，求AB的长；
（Ⅱ）当AB的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
24．（10分）用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？
25．（12分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
26．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cs22°≈0.927，tan22°≈0.404，≈1.1．）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题解析：
又DE=4，
∴EF=6，
∴DF=DE+EF=10，
故选C.
2、C
【分析】如图，连接BE，根据轴对称的性质得到AF=AD，∠EAD=∠EAF，根据旋转的性质得到AG=AE，∠GAB=∠EAD．求得∠GAB=∠EAF，根据全等三角形的性质得到FG=BE，根据正方形的性质得到BC=CD=AB=1．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接BE，
∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，
∴AF=AD，∠EAD=∠EAF，
∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，
∴AG=AE，∠GAB=∠EAD．
∴∠GAB=∠EAF，
∴∠GAB+∠BAF=∠BAF+∠EAF．
∴∠GAF=∠EAB．
∴△GAF≌△EAB（SAS）．
∴FG=BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=1．
∵DE=1，
∴CE=2．
∴在Rt△BCE中，BE=，
∴FG=5，
故选：C．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3、B
【分析】设蓝球有x个，根据摸出一个球是红球的概率是，得出方程即可求出x．
【详解】设蓝球有x个，依题意得
解得x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
故蓝球有4个，选B.
此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
4、D
【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4cm，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离；即可得出公共点的个数．
【详解】解：根据题意可知，圆的半径r＝4cm．
∵OP＝4cm，
当OP⊥l时，直线和圆是相切的位置关系，公共点有1个；
当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于4cm，所以是相交的位置关系，公共点有2个．
∴直线L与⊙O的公共点有1个或2个，
故选D．
本题考查了直线与圆的位置关系．特别注意OP不一定是圆心到直线的距离．
5、D
【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠AOC＝70°．
【详解】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝70°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC＝70°，
故选：D．
本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转的意义和性质，能够有旋转的性质得到相等的角.
6、C
【分析】由中位线可知DE∥BC，且DE=BC；可得△ADE∽△ABC，相似比为1:2；根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即得结果．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，
∵相似三角形的面积比是相似比的平方，
∴△ADE与△ABC的面积的比为1:4.
故选C.
本题要熟悉中位线的性质及相似三角形的判定及性质，牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．
7、D
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【详解】A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项A不符合题意；
B、若，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项B不符合题意；
C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项C不符合题意；
D、若，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC～△EDC，故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段.
8、C
【分析】由题意根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠AOC，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理列式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
由圆周角定理得，∠ADC= ∠AOC，
∴∠ADC=60°，
故选：C．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及平行四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9、B
【分析】根据中心对称图形的概念逐一进行分析即可得.
【详解】第一个图形是中心对称图形；
第二个图形不是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形，
故选B.
本题考查了中心对称图形，熟知中心对称图形是指一个图形绕某一个点旋转180度后能与自身完全重合的图形是解题的关键.
10、C
【解析】试题解析：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，

∴y与x的函数关系式为：
故选C．
点睛：根据三角形的面积公式列出即可求出答案.
11、B
【分析】根据图象绕顶点旋转180°，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案．
【详解】∵
，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，3），
∴在旋转之后的抛物线解析式为：
．
故选：B．
本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系数符号改变，顶点不变．
12、A
【详解】∵抛物线
∴a＜0，∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选A．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】试题解析：如图：
连接OA交BC于D，连接OC，
是等边三角形，是外心,
故答案为
14、①③④
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：在抛物线中，
∵，
∴抛物线的开口向下；①正确；
∴对称轴为直线；②错误；
∴顶点坐标为；③正确；
∴时，图像从左至右呈下降趋势；④正确；
∴正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④.
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
15、
【分析】根据题意可知密码的末位数字一共有10种等可能的结果，小丽能一次支付成功的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵密码的末位数字一共有10种等可能的结果，小丽能一次支付成功的只有1种情况，
∴小丽能一次支付成功的概率是．
故答案为：．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
16、20%
【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据“经过两次降价，零售价由100元降为64元”，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】设平均每次降价的百分率是x，根据题意得：
100(1﹣x)2=64，
解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去)，
即平均每次降价的百分率是20%．
故答案为：20%．
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
17、1
【分析】把x=2代入函数关系式即可求得．
【详解】f（2）=3×22-2×2-1=1，
故答案为1．
此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握函数图象上点的坐标适合解析式．
18、
【分析】首先确定所求的阴影小正方形可能的位置总数目，除以剩余空白部分的正方形的面积个数即为所求的概率．
【详解】解：从阴影下边的四个小正方形中任选一个，就可以构成正方体的表面展开图，
∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是．
故答案为：．
本题将概率的求解设置于正方体的表面展开图中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；“一，四，一”组合类型的6个正方形能组成正方体．
三、解答题（共78分）
19、 (1) ﹣3，1；(2) y=x+4，4；（3）﹣3≤x≤﹣1.
【分析】（1）已知反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）分别代入求得m、n的值即可；（2）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求得一次函数与x轴的交点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）观察图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可.
【详解】（1）∵反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）
∴m=3×（﹣1）=﹣3，m=﹣3n
∴n=1
故答案为﹣3，1
（2）设一次函数解析式y=kx+b，且过（﹣1，3），B（﹣3，1）
∴
解得：
∴解析式y=x+4
∵一次函数图象与x轴交点为C
∴0=x+4
∴x=﹣4
∴C（﹣4，0）
∵S△AOB=S△AOC﹣S△BOC
∴S△AOB=×4×3﹣×4×1=4
（3）∵kx+b≥
∴一次函数图象在反比例函数图象上方
∴﹣3≤x≤﹣1
故答案为﹣3≤x≤﹣1
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、用待定系数法求解析式、用图象法解不等式及用三角形面积的和差求三角形的面积，知识点较为综合但题目难度不大．
20、 (1) k=1；(2) n＞1或﹣1＜n＜2．
【分析】（1）把点A的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出点A的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点M在N右边时n的取值范围即可．
【详解】解：（1）令x=1，代入y=x﹣2，则y=1，
∴A(1，1)，
∵点A(1，1)在双曲线y=(k≠2)上，
∴k=1；
（2）联立得：，
解得或，即B(﹣1，﹣1)，
如图所示：
当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣1＜n＜2．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21、（1）详见解析；（2）3
【分析】（1）连接OD，由BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，证得OD⊥BC，再根据中位线定理证得OD∥CF，即可证得结论；
（2）根据圆周角定理证得∠EBD=∠BED，即 BD=DE，根据正弦函数即可求出半径的长
【详解】（1）连接OD
∵BC为⊙O的直径
∴∠BAC=90°
∵点E为△ABC的内心
∴∠CAD=∠BAD=45°，∠ABE=∠EBC
∴∠BOD=∠COD=90°，即OD⊥BC
又BD＝DF，OB＝OC
∴OD∥CF
∴BC⊥CF，BC为⊙O的直径
∴直线CF为⊙O的切线；
（2）∵，
∴∠CAD=∠CBD，
∵OD⊥BC，
∴，
∴∠CBD=∠BAE，
又∵∠ABE=∠EBC，
∴∠EBD=∠EBC+∠CBD=∠BAE+∠ABE=∠BED，
∴BD=DE=6，
Rt△OBD中OB=OD，
∴OB=BD=×6=3，
本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22、（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学；（2）．
【分析】（1）从表格中，找出正确投放了至少三类垃圾的同学即可；
（2））“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“有A同学”的结果数，进而求出概率．
【详解】解：（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学，
（2）“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，从中抽出2人所有可能出现的结果如下：
共有20种可能出现的结果数，其中抽到A的有8种，
因此，抽到学生A的概率为．
本题考查的知识点是概率，理解题意，利用列表法求解比较简单．
23、（Ⅰ）13m或19m；（Ⅱ）当AB＝16时，S最大，最大值为：1．
【分析】（Ⅰ）根据题意得出长×宽=252列出方程，进一步解方程得出答案即可；
（Ⅱ）设花园的面积为S，根据矩形的面积公式得到S=x（28-x)=- ＋28x=–+196，于是得到结果．
【详解】解：（Ⅰ）∵AB＝xm，则BC＝（32﹣x）m，
∴x（32﹣x）＝252，
解得：x1＝13，x2＝19，
答：x的值为13m或19m；
（Ⅱ）设花园的面积为S，
由题意得：S＝x（32﹣x）＝﹣x2+32x＝﹣（x﹣16）2+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝16时，S最大，最大值为：1．
本题主要考查二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
24、当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【分析】根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x，则另一边为（18﹣x）（包括墙长）列出二次函数解析式即可求解．
【详解】解：如图甲：设矩形的面积为S，
则S＝8×（18﹣8）＝2．
所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为2；
如图乙：设垂直于墙的一边长为xm，则另一边为（18﹣1x﹣8）+8＝（18﹣x）m．
所以S＝x（18﹣x）＝﹣x1+18x＝﹣（x﹣9）1+81
因为﹣1＜0，
当x＝9时，S有最大值为81，
所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
综上：当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
本题考查了二次函数的应用，难度一般，关键在于找到等量关系列出方程求解，另外注意配方法求最大值在实际中的应用
25、 (1)1;(2)
【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为个，
根据题意得：
解得：=1
经检验：=1是原分式方程的解
∴口袋中黄球的个数为1个
（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况
∴两次摸出都是红球的概率为： .
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
26、（1）167.79；（2）能.理由见解析.
【分析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．由三角函数表示出CD和AD的长，然后列出方程，解方程即可；
（2）作∠DMF=30°，交l于点F．利用解直角三角形求出DF的长度，然后得到AF的长度，与AB进行比较，即可得到答案.
【详解】解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．
∵在Rt△CDM中，CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，
∴AD=DM=x，
∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，
∴100+ x·tan22°=x．
∴（米）．
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）作∠DMF=30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，有：
DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°=DM≈≈96.87米．
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<2．
∴该轮船能行至码头靠岸．
本题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．
学生
垃圾类别
A
B
C
D
E
F
G
H
可回收物
√
×
×
√
√
×
√
√
其他垃圾
×
√
√
√
√
×
√
√
餐厨垃圾
√
√
√
√
√
√
√
√
有害垃圾
×
√
×
×
×
√
×
√