辽宁省2024届数学九年级上期末学业水平模拟试题

这是一份辽宁省2024届数学九年级上期末学业水平模拟试题，共17页。试卷主要包含了下列方程是一元二次方程的是，若，则下列各式一定成立的是，方程的根的情况是，的绝对值是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，随的增大而增大
C．
D．是一元二次方程的一个根
2．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是
A．B．
C．D．
3．二次函数的图像如图所示，它的对称轴为直线，与轴交点的横坐标分别为，，且.下列结论中：①；②；③；④方程有两个相等的实数根；⑤.其中正确的有（ ）
A．②③⑤B．②③C．②④D．①④⑤
4．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2=0C．x2-2y=1D．
5．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（ ）
A．B．C．D．
6．若，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．在一个不透明的布袋中装有红色.白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85％左右，则口袋中红色球可能有（ ）.
A．34个B．30个C．10个D．6个
8．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
9．的绝对值是
A．B．C．2018D．
10．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130°B．50°C．65°D．100°
11．一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．B．C．D．
12．抛物线y＝4x2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．(0，3)B．(0，﹣3)C．(﹣3，0)D．(4，﹣3)
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 ______ ．
14．如果x：y＝1：2，那么＝_____．
15．在中，，，，则内切圆的半径是__________．
16．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是_____（填甲或乙）
17．⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是_____．
18．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
20．（8分）某型号飞机的机翼形状如图所示，已知所在直线互相平行且都与所在直线垂直，．，，，．求的长度（参考数，，，，，）
21．（8分）如图，在中，，点为上一点且与不重合．，交于．
（1）求证：；
（2）设，求关于的函数表达式；
（3）当时，直接写出_________．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，CD上一点E，连接AE，将△ADE绕点A旋转90°得△AFG，连接EG、DF．
（1）画出图形；
（2）若EG、DF交于BC边上同一点H，且△GFH是等腰三角形，试计算CE长．
23．（10分）解方程:
．
24．（10分）某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元.每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价元，每天可多销售件,那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少?
25．（12分）如图，正方形的边长为9，、分别是、边上的点，且.将绕点逆时针旋转，得到.
（1）求证：
（2）当时，求的长.
26．同时抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子各个面的点数分别是1至4的整数，把这两枚骰子向下的面的点数记为（a，b），其中第一枚骰子的点数记为a，第二枚骰子的点数记为b．
（1）用列举法或树状图法求（a，b）的结果有多少种？
（2）求方程x2+bx+a＝0有实数解的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，与y轴的交点在正半轴可得c是正数，根据二次函数的增减性可得B选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x轴的一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，从而得解．
【详解】A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（−1，0），对称轴是x＝1，
设另一交点为（x，0），
−1＋x＝2×1，
x＝3，
∴另一交点坐标是（3，0），
∴x＝3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
故本选项正确．
故选：D．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．
2、C
【解析】分三段讨论：
①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；
②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；
③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；
结合图象可得C选项符合题意．故选C．
3、A
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断，利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤.
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线
∴b=-2a＞0
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜-1，
∴abc＞0，所以①错误；
∵，对称轴为直线
∴故，②正确；
∵对称轴x=1，∴当x=0，x=2时，y值相等，
故当x=0时，y=c＜0，
∴当x=2时，y=，③正确；
如图，作y=2，与二次函数有两个交点，
故方程有两个不相等的实数根，故④错误；
∵当x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，
当x=0时，y=c＜-1
∴3a＞1，
故，⑤正确；
故选A.
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
4、B
【解析】利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可求解．
【详解】解：A：，化简后是：，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；
B：x2=0，是一元二次方程；
C：x2-2y=1含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；
D：，分母含有未知数，是一元一次方程，所以不是一元二次方程；
故选：B．
本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5、B
【分析】等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选B．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
6、B
【分析】由 等式的两边都除以，从而可得到答案．
【详解】解：
等式的两边都除以：，


故选B．
本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
7、D
【解析】由频数=数据总数×频率计算即可．
【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，
∴口袋中白色球的频率为85%，
故白球的个数为40×85%=34个，
∴口袋中红色球的个数为40-34=6个
故选D．
本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8、A
【分析】计算判别式即可得到答案.
【详解】∵=
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
此题考查一元二次方程根的情况，正确掌握判别式的三种情况即可正确解题.
9、C
【解析】根据数a的绝对值是指数轴表示数a的点到原点的距离进行解答即可得.
【详解】数轴上表示数-2018的点到原点的距离是2018，
所以-2018的绝对值是2018，
故选C.
本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.
10、D
【解析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选D．
考查了圆周角定理的运用．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11、B
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发(x-1)条消息，则发消息共有x（x-1）条,再根据共发信息1980条，列出方程x（x-1）=1980.
【详解】解：设有x个好友，依题意，得：
x（x-1）=1980.
故选：B．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出合适的未知数，再根据等量关系式列出方程是解题的关键.
12、B
【分析】根据抛物线的顶点坐标为(0，b)，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：B．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、h≤3
【解析】试题解析：二次函数的对称轴为：
当时,随的增大而增大，
对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.
即：
故答案为：
点睛：本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
当时, 随的增大而增大，可知对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.根据对称轴为,即可求出的取值范围.
14、
【分析】根据合比性质，可得答案．
【详解】解：，即．
故答案为 ．
考查了比例的性质，利用了和比性质：．
15、1
【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的长，然后根据直角三角形内切圆的半径公式：（其中a、b为直角三角形的直角边、c为直角三角形的斜边）计算即可．
【详解】解：在中，，，，
根据勾股定理可得：
∴内切圆的半径是
故答案为：1．
此题考查的是求直角三角形内切圆的半径，掌握直角三角形内切圆的半径公式：（其中a、b为直角三角形的直角边、c为直角三角形的斜边）是解决此题的关键．
16、甲
【分析】
【详解】∵S甲2=16.7，S乙2=28.3，∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为甲．
17、点P在⊙O外
【分析】根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵⊙O的半径r=10cm，点P到圆心O的距离OP=12cm，
∴OP＞r，
∴点P在⊙O外，
故答案为点P在⊙O外．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
18、1
【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】解：x2﹣6x+8＝0，
(x﹣2)(x﹣4)＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝1，
故答案为：1．
本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2），见解析
【分析】（1）袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，摸到红球的概率即可求出；
（2）分别使用树状图法或列表法将抽取球的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次有2种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有6种，找出两次都是白球的的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解：（1）∵袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，
∴；
（2）画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴；
用列表法，根据题意，列表结果如下：
一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴．
本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
20、
【分析】在Rt△DEB和Rt△ACP中利用锐角三角函数来求出DE、AP的长，根据题意可知CE=BP，从而求出AB．
【详解】解：如图，延长交过点平行于的直线于点，
在中，
在中，
.
则.
.
答: 的长度为.
本题考查的是利用锐角三角函数值求线段长．
21、（1）详见解析；（2）；（3）1
【分析】（1）先根据题意得出∠B＝∠C，再根据等量代换得出∠ADB＝∠DEC即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出，将相应值代入化简即可得出答案；
（3）根据相似三角形的性质得出，再根据已知即可证明AE=EC从而得出答案．
【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB＋∠CDE＝∠CDE＋∠DEC＝135°
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝x，AE＝y，
则DC＝，
代入上式得：
，
∴，
即
（3）,
在中，
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．
22、（1）见解析；（2）CE=3-
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据旋转的性质得到DE=FG，△ADF、△BHF是等腰直角三角形，故求出FH=，再根据等腰三角形的性质得到GF=FH==DE，故可求出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）由旋转得，AD=AF=5，DE=GF
∵∠BAD=90°
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴A、B、F在同一直线上
∴BF=2=BH
∴△BHF为等腰直角三角形，
∴HF==,
∵△GFH是等腰三角形且∠GFH=90°+45°=135°
∴GF=FH==DE
∵CD=AB=3
∴CE=CD-DE=3-．
此题主要考查矩形及旋转的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质．
23、（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝，x2＝1．
【分析】解一元二次方程常用的方法有因式分解法和公式法，方程在整式范围内不能因式分解，所以选择公式法即可求解；而方程移项后方程左边可以利用平方差公式进行因式分解，易求出此方程的解．
【详解】解：（1）x2﹣4x+4＝3，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）9（x﹣2）2﹣4（x+1）2＝0，
[3（x﹣2）+2（x+1）][3（x﹣2）﹣2（x+1）]＝0，
3（x﹣2）+2（x+1）＝0或3（x﹣2）﹣2（x+1）＝0，
所以x1＝，x2＝1．
本题考查的是一元二次方程的解法，根据方程的特点和每一种解法的要点，选择合适的方法进行求解是关键．
24、（1）该商品连续两次下降的百分率为；（2）售价为元时，可获最大利润元
【分析】（1）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得S元的利润，则每件商品应降价m元，由销售问题的数量关系建立函数解析式，由二次函数性质求出其解即可．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为．

（不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下降的百分率为；
（2）设降价元，利润为元.
则


，即售价为元时，可获最大利润元
此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解（1）关键是根据题意找到等量关系，解（2）的关键是解决销量与价格变化关系，列出函数解析式，解答即可．
25、（1）见解析；（2）7.1
【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=41°，得到∠MDF=41°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；
（2）由第一问的全等得到AE=CM=3，正方形的边长为9，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=12﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【详解】（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°．
∵∠EDF=41°，
∴∠FDM=∠EDF=41°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF；
（2）设EF=x，则MF=x．
∵AE=CM=3，且BC=9，
∴BM=BC+CM=9+3=12，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=12﹣x．
∵EB=AB﹣AE=9﹣3=6，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2，
即62+(12﹣x)2=x2，
解得：x=7.1，
则EF=7.1．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．
26、（1）一共有16种结果；（2）．
【分析】（1）根据题意画出树状图，得出所有等情况的结果数，再列举出来即可；
（2）先找出符合条件的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）根据题意画图如下：
（a，b）的结果如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），一共有16种结果；
（2）易知方程是一元二次方程，其有解的条件是b2﹣4a≥0，
符合条件的（a，b）：（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（1，3），（2，3），（1，2）共有7种结果，
所以，此方程有解的概率是．
本题主要考察列表法和概率，熟练掌握计算法则是解题关键.