福建省金科大联考2023-2024学年高三上学期12月份月考数学试卷（附答案）

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全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为单位向举，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若函数为偶函数，则实数（ ）
A．1B．0C．D．2
5．刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是刍薨的高，即顶棱到底面的距离），已知和均为等边三角形，若二面角和的大小均为，则该刍薨的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．设等比数列的公比为，设甲：；乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知双曲线，点，若上存在三个不同的点满足，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若和外离，则或
B．若和外切，则
C．当时，有且仅有一条直线与和均相切
D．当时，和内含
10．已知正实数满足，则（ ）
A．B．
C．的最大值为0D．的最小值为
11．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．在三棱锥中，平面为内的一个动点（他括边界），与平面所成的角为，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．有且仅有一个点，使得D．所有满足条件的线段形成的曲面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设是公差不为0的等差数列的前项和，若，则______．
14．已知函数，且为曲线的一条切线，则______．
15．设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭圆C的长轴长为______．
16．已知函数，花，且，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）记的内角的对边分别为，面积为，且．
（1）求的外接圆的半径；
（2）若，且，求边上的高．
18．（本小题满分12分）设为数列的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
19．（本小题满分12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围．
20．（木小题满分12分）如图，在四棱锥中，，设分列为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）证明：有唯一的极值点；
（2）若，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知抛物线为的焦点，在上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于两点（分别位于直线的两侧），且直线的斜率之和为0，
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求的面积的最大值．