北京市汇文中学2023~2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份北京市汇文中学2023~2024学年九年级上学期月考数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．图形既不轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
D．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
2. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，而，
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故选：B．
3. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上B. 经过原点
C. 对称轴是y轴D. 顶点在x轴上
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【详解】在二次函数中，
∵，
∴图像开口向下，故A错误；
令，则，
∴图像不经过原点，故B错误；
二次函数的对称轴为直线，故C错误；
二次函数的顶点坐标为，
∴顶点在x轴上，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．
4. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 或1
【答案】A
【解析】
【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有一个根是
∴
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
5. 如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A. 优弧B. 劣弧C. 半圆D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．
故选：B．
【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
6. 参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．
【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：
，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
7. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（ ）
A. 的值一定是B. 的值一定不是
C. 越大，的值越接近D. 随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是有可能发生的事件．
8. 已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论：
①当时，；
②当时，c的最大值为0；
③当时，y可以取到的最大值为7．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】①当时，根据不等式的性质求解即可证明；②当时，二次函数的对称轴为：，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别利用二次函数的的最值问题讨论证明即可得；③当，，，时，分别求出相应的y的值，然后将时，y的值变形为：，将各个不等式代入即可得证．
【详解】解：①当时，
，
∴，
∵，
∴，
，即，正确；
②当时，
二次函数的对称轴为：，
当时，即时，
函数在处取得最小值，即
，
，
函数在处取得最大值，即
，
，
二者矛盾，
∴这种情况不存在；
当时，即时，
，
函数在处取得最小值，即
，
，
∴，
当时，即时，
，
时，；
时，，
不符合题意，舍去；
当时，即时，
，
时，；
时，，
不符合题意，舍去；
∴，
当时，即时，
函数在处取得最小值，即
，
，
函数在处取得最大值，即
，
，
二者矛盾，
∴这种情况不存在；
∴综上可得：；故②正确；
③当时，，且；
当时，，且；
当时，，且；
当时，，
，，，
∴，
∴当时，y可以取到的最大值为7；③正确；
故选：D．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
二、填空题：本题共8小题
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10. 将抛物线向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案．
【详解】∵抛物线向上平移1个单位长度，
∴抛物线平移后的表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．
11. 若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．
【答案】六
【解析】
【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．
【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．
12. 用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，列出方程求解即可得．
【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：，
∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π
设圆锥的底面圆的半径为r，则：
，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．
13. 某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为______元．
【答案】2
【解析】
【分析】知的最大值在时取得，值为．
【详解】解：
根据函数图像性质可知在时，最大且取值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题．解题的关键将二次函数化成顶点式．
14. 如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．把部分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．
【详解】解：观察转盘灰色区域面积与总面积的比值为
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率．解题的关键在于求出所求事件的面积与总面积的比值．
15. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 _______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标即可求解．
【详解】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点是，
∴关于x的一元二次方程的两根为：．
故答案为：．
16. 为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，
则OD⊥MN，
∴MD=DN，
在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，
∴cm，
∴cm，
即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
三．解答题
17. 解方程：．
【答案】或
【解析】
【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解．
【详解】，
，
∴或，
解得：或．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．
18. 已知：如图，A为上的一点．
求作：过点A且与相切的一条直线．
作法：①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴（ ）（填推理的依据）．
∵OA是的半径，
∴直线PA与相切（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理
【解析】
【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；
（2）证明：连接BA，
由作法可知，
∴点A在以OP为直径的圆上，
∴（直径所对的圆周角是直角），
∵OA是的半径，
∴直线PA与相切（切线的判定定理），
故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．
【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
【答案】（1）证明见详解；（2）a的最小值为0．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；
（2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定a的取值范围，即可求出a的最小值．
【详解】（1）证明：依题意得：


，
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根；
（2）由，
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴a的最小值为0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．
20. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）y=-（x+1）2+4；（2）n