浙江省金华市婺城区湖海塘中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份浙江省金华市婺城区湖海塘中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A. a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B. a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C a＝，b＝3，c＝2，d＝D. a＝2，b＝，c＝2，d＝
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解：A、4×10≠6×5，故不符合题意，
B、1×4≠2×3，故不符合题意，
C、×3≠2×，故不符合题意，
D、2×=2×，故符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2. 下列命题中是真命题的为（ ）
A. 弦是直径
B. 直径相等的两个圆是等圆
C. 平面内的任意一点不在圆上就在圆内
D. 一个圆有且只有一条直径
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的相关概念逐个判断排除.
【详解】解：弦不一定是直径，A是假命题；
直径相等的两个圆是等圆，B是真命题；
平面内的任意一点在圆上、圆内或圆外，C是假命题；
一个圆有无数条直径，D是假命题；
故选B．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【点睛】本题考查圆的弦、直径、平面内点与圆的位置关系等概念.
3. 若，则下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了比例性质，熟记两内积等于两外项之积是解题的关键．根据比例的性质依次计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
得到，故选项A错误；
，
，
，故选项B错误；
，，
，故选项C错误；
令，则，故选项D正确．
故选D．
4. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度．
【答案】A
【解析】
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【详解】∵的顶点坐标为（-2，3），的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）
A. AB2＝AP2+BP2B. BP2＝AP•BA
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或．
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
7. 如图是的直径，内接于，，，则（ ）
A. 113°B. 103°C. 45°D. 58°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角的性质可得∠ABC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=45°，再用三角形内角和可求．
【详解】解：∵是的直径，
∴∠ABC=90°，
∵，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A=∠D=45°，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质求出角的度数，结合已知角的度数进行计算．
8. 已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y2＞y1＞y3C. y3＞y1＞y2D. y3＞y2＞y1
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据二次函数的解析式y＝3(x－1)2＋k，可知函数的开口向上，对称轴为x=1，根据函数图像的对称性，可得这三点的函数值的大小为y3＞y2＞y1.
故选D
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.
9. 如图所示为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在坐标系中的位置，以下六个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④b2-4ac>0；⑤a+b+c<0；⑥2a+b>0．其中正确的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向可判断①，根据对称轴的位置可判断②，根据与y轴的交点可判断③，根据与x轴的交点可判断④，根据x=1时y＞0可判断⑤，根据对称轴与x=1的关系可判断⑥．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴x＝ >0，
∴b＜0，故②错误；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ >0，故④正确；
∵当x=1时，y＞0，
∴a+b+c>0，故⑤错误；
∵抛物线对称轴x＝<1，
∴−b<2a，
∴2a+b>0，故⑥正确，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置③常数项c决定抛物线与y轴交点；④抛物线与x轴交点个数由△＝b2−4ac决定．
10. 如图，直线与坐标轴交于，两点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连结，则线段的最小值是（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为2的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：如图，直线与坐标轴交于，两点，
∴令，得，解得：，令，得，
，，
，
点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为2，
取，连接，

，，
是中位线，
，
当最小时，即最小，而，，三点共线时，当在线段上时，最小，
，，
，
．
．
即的最小值为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点的位置是关键，也是难点．
二．填空题（共6小题，共24分）
11. 已知一个正多边形的内角为，这个多边形的条数为________．
【答案】9
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
【详解】∵一个正多边形的内角为，
∴每个外角为：，
∴这个多边形的条数为，
故答案为：．
12. 已知一条弧的半径为9，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为______．
【答案】
【解析】
【分析】把弧长公式进行变形，把已知数据代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，解题的关键是正确掌握弧长的计算公式及其变形．
13. 如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__．
【答案】3.6
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，
即，
∴DE＝3.6，
故答案为：3.6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键．
14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=，即CD=2CH=2．
【详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，
∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，
∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故答案为2.
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可
15. 如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：根据题意，点从点到点的时间为；点从点到点的时间为，
如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似，
则．
①当D与B对应时，有，
∴，
∴，
∴；
②当与对应时，有．
∴，
∴，
∴．
故当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或，符合题意，
故答案：或．
16. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为．点P为抛物线上的一个动点．过点P作轴于点D，交直线于点E．
（1） ______，_______；
（2） 在第一象限内有一点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍，求出点P所有的坐标______________．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法和二次函数的性质，
（1）将点A和点C代入即可求得；
（2）根据，求得点，待定系数法求得直线的解析式为，设点，则点，过P作于点H，过D作于点G，则，可求得，进一步证明，有，即可求得点P的坐标．
【详解】解：（1）∵点和点在抛物线上，
∴，解得．
则，．
故答案为：，．
（2）当，，解得，，则点，
设直线的解析式为，则
，解得，
则直线的解析式为，
∵P在第一象限，且在抛物线，
∴设P坐标为，
∵点E在直线上，
∴E的坐标为，
过P作于点H，过D作于点G，如图，
∵点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，解得或(舍去)，
将代入，得．
则存在点P，使点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍，其．
故答案为：．
三．解答题（共6大题，共66分）
17. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，设，
∴．
18. 已知一个抛物线经过点，和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【答案】（1）
（2）顶点坐标为；对称轴为直线
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点坐标公式求解即可．
【小问1详解】
设
将代入，则
∴
【小问2详解】
∵，
∴顶点坐标为；对称轴为直线．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是 ．
19. 如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系．
（1）请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写：圆心的坐标：（______，______）
（2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出图形．
【答案】（1）点P的位置如图所示，点P坐标为（5，3）；（2）△ADE如图所示，见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出BC、AB的中垂线，两直线的交点即为点P；
（2）分别找出点B、C绕点A逆时针旋转后的点的位置，然后顺次连接即可.
【详解】解：（1）如图所示，点P即为所求，圆心P坐标为P（5，3）；
（2）如图所示，△ADE为所画三角形.
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键．
20. 如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由四边形是平行四边形得，.根据“两角对应相等，两个三角形相似”得.
（2）设，根据“相似三角形对应边成比例”列比例式得，则.同（1）证，根据“相似三角形对应边成比例”即可求出的值.
【小问1详解】
四边形是平行四边形
，
，
【小问2详解】
四边形是平行四边形
设
由（1）得
，
四边形是平行四边形
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质.熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
21. 如图，⊙O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）判断的形状，并证明；
（2）求BD的长．
【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据角平分线定义得∠ACD = ∠DCB,再利用圆周角定理得∠ACD = ∠ABD,∠DCB = ∠DAB,等量代换即可求解,
（2）利用直径和勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）△ADB是等腰直角三角形.
证明：∵CD平分∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠DCB.
∵ ∠ACD = ∠ABD,∠DCB = ∠DAB,
∴ ∠ABD = ∠DAB.
∴AD=BD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
（2）在Rt△ADB中, AD2+BD2=AB2,
∴2BD2=AB2,
∴BD=AB=×6=(cm)
【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为元/千克时，一天销售总质量为千克．
（1）求与的函数关系式．
（2）若水果店货源充足，每天以固定价格元/千克销售，试求出水果店每天利润与单价的函数关系式，并求出当为何值时，利润达到最大．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）设该商品的价格为元/千克，根据“以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价”，得到销售总质量与的函数关系式．
（2）根据利润=每千克利润×销售总质量，得到有关利润的二次函数求最值即可；
【小问1详解】
由题意可得，
【小问2详解】
由题意可得，
当时，利润达到最大
答：当为时，利润达到最大
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是了解利润和售价，销售量之间的关系．
23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
(1)如图1，已知四边形在正方形网格中，顶点都在格点上，判断：四边形______(填“是”或“不是”)以为“相似对角线”的四边形；
(2)如图，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；
(3)如图，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．
【答案】（1）是；（2）见解析；（3）4．
【解析】
【分析】（1）先根据勾股定理计算出AB，BC的长，再得出，结合∠ABC=∠ACD=90°，可得出△ABC∽△ACD，从而可得出结果；
（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，从而可得出∠A=∠BDC，证明△ABD∽△DBC即可得出结论；
（3）由已知可知△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG；过点E作EQ⊥FG于Q，继而得出EQ=FE，再结合的面积为求出FG•FE=16，从而可得出结论．
【详解】（1）解：根据勾股定理得，
AB=，BC=，
又AC=5，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°=∠ACD，
∴，
∴，
∴△ABC∽△ACD，
∴四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形．
故答案为：是；
（2）证明：如图2中，
∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）解：如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似，
∵∠EFH=∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，，
∴FH2=FE•FG，
过点E作EQ⊥FG于Q，
∵=30°，∴∠EFG=60°，
∴EQ=FE•sin60°=FE，
，
∴，
∴FG•FE=16，
∴FH2=FE•FG=16，
∴FH=4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义问题，解直角三角形以及勾股定理等知识，理解新定义是解本题的关键．
24. 如图①，是的直径，，点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，连接，．
（1）以为边的内接正多边形的边数为 ；
（2）当直径平分时，求的长；
（3）如图②，连接并延长，交的延长线于点E，当是等腰三角形时，直接写出扇形的面积．
【答案】（1）9 （2）
（3）扇形的面积为或或
【解析】
【分析】（1）根据旋转得出，再根据圆内接正多边形的性质即可得出答案；
（2）先求出，然后根据弧长公式进行计算即可；
（3）分三种情况：当时，时，时，分别画出图形，求出扇形所对的圆心角度数，然后再求出扇形的面积．
【小问1详解】
解：根据旋转可知，，
∴以为边的内接正多边形的边数为：；
故答案为：9．
【小问2详解】
解：∵点C在上且位于直线上方，将半径绕点O顺时针旋转，点C的对应点为点D，直径平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长是．
【小问3详解】
解：当是等腰三角形，且时，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
当是等腰三角形，且时，如图所示：
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当是等腰三角形，且时，如图所示：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，扇形的面积为或或．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，扇形面积计算，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，弧长计算，解题的关键数形结合，注意进行分类讨论．