重庆市渝北区渝北区实验中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份重庆市渝北区渝北区实验中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A项，，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本项不符题意；
B项，，是一元二次方程，故本项符题意；
C项，，不是整式方程，即不是一元二次方程，故本项不符题意；
D项，，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本项不符题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2是解题关键．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式解析式即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
【点睛】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为．
3. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A.不中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B. 是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
C. 不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D. 是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后图形重合；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分对折后可重合．
4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
5. 如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程根的定义得到，则，整体代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵a是一元二次方程的根，
∴，
∴
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的求值等知识，根据一元二次方程根的定义得到是解题的关键．
6. 如图，将绕点按顺时针方向旋转115后能与重合，若∠C=90，且点、、在同一条直线上，则∠BA等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质知，再根据是△ABC的外角可求得∠B的度数，即可知∠BAC的度数，再利用180°-∠BAC-∠B1AC1即可求得∠BA的度数.
【详解】∵将绕点按顺时针方向旋转115后能与重合，
∴，
又∵是△ABC的外角，
∴∠B=-∠C=25°，
∴∠BAC=90°-∠B=65°=∠B1AC1，
∴∠BA=180°-∠BAC-∠B1AC1= ，
选C.
【点睛】此题主要考查旋转的性质与应用，熟知三角形中角度计算是解题的关键.
7. 已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 3或4
【答案】D
【解析】
【分析】先把方程化为，可得，，再根据等腰三角形的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∴等腰三角形的两边长分别3或4；
∴该等腰三角形的底边长为3或4；
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．
8. 函数与（且）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分四种情况讨论，再判断图像即可．
【详解】解：当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，三象限，
当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第一，三，四象限，
所以B不符合题意；
当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第二，三，四象限，
当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，四象限，
所以C不符合题意，D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，一次函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键．
9. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的图像和性质注意判断即可解题．
【详解】由图象可得，,
∴, 故①错误；
∵，
∴, 故, 故②正确;
抛物线与轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确；
∵当时，该函数取得最大值，此时，
∴点在该抛物线上, 则,即,故④正确．
所以正确的有②③④共三个，
故选:C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
10. 有两个整数把整数对进行操作后可得到中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ）
①若次操作后得到的整数对仍然为，则的最小值为2；
②三次操作后得到的整数对可能为；
③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是．
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】根据把整数对进行操作后可得到中的某一个整数对，对分别进行操作，对各结论逐一判断即可得答案．
【详解】对分别进行第一次操作得（34，32），（，32），（32，2），
第二次操作得（66，32），（-62，32），（32，34），
（2，32），（，32），（32，），
（34，2）（，2），（2，32），
∴若次操作后得到的整数对仍然为，则的最小值为2；故①正确，
∵第二次操作中的（，2）经过（，）的操作可得（2，），
∴三次操作后得到的整数对不能为，故②错误，
∵2和32都是偶数，
∴进行或或操作的结果都是偶数，
∴不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是，故③正确，
综上所述：正确的结论为①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查数字类变化规律，正确找出操作后的整数对是解题关键．
二、填空：（每小题4分，共32分）
11. 已知方程的一个根是1，则m的值为_____________________
【答案】4
【解析】
【分析】将代入方程即可求m的值．
【详解】解：∵方程的一个根是1，
∴将代入方程，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．
12. 已知抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】把代入可得抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当时，
；
∴点C的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数与y轴的交点坐标，熟练的求解二次函数与y轴的交点坐标是解本题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出a，b的值，再代入所给代数式计算得出答案．
【详解】解：∵点关于原点对称的点为，
∴，
则．
故答案：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
14. 把一元二次方程x（x+1）=4（x﹣1）+2化为一般形式为_____．
【答案】x2﹣3x+2=0．
【解析】
【分析】按照去括号、移项、合并同类项的步骤化为ax2+bx+c=0的形式即可.
【详解】x2+x=4x﹣4+2，x2﹣3x+2=0．
故答案为x2﹣3x+2=0．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
15. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义和性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与定义，熟知对于二次函数当时，二次函数图象开口向下是解题的关键．
16. 设是抛物线上三点，则的大小关系是________(用号连接)．
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，进而根据离对称轴越远的点的函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，离直线的距离最近，
∴．
故答案为：．
17. 若关于的一元一次不䇡式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的的值之积为_____________．
【答案】35
【解析】
【分析】先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得．
【详解】解：解不等式，
去分母得： ，
解得：，
解不等式
移项合并同类项得：，
∵关于的一元一次不䇡式组的解集为
∴由“同大取大”得：a≤7；
解分式方程：，
分式方程去分母，得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵方程的解为非负整数，
∴，
又∵a≤7，
∴满足条件的整数a可以取7，-1，-5
其积为．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点．
18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且为整数）．若能被整除，则的值为_____，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据题意求得，，结合题意可得，，推导出所有可能情况，即可求解，理解题意求得，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵能被整除，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴或，
∵，，
当，时，；
当，时，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，
当，时，；
∵，，
∴的值为：或，
∴的最大值为：，
故答案为：，．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算：
（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练的根据方程的特点选择合适的解法是解题的关键．
（1）根据因式分解法求解；
（2）根据公式法求解．
【小问1详解】
解：
则
∴或
∴，；
【小问2详解】
解：
，，，
∴
∴，．
21. 如图平行四边形中，平分，交于点．
（1）请用尺规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）的作图，证明：．请在答题卡上完成相应的填空．
证明：四边形是平行四边形，
，，
（两直线平行，内错角相等），
又平分，平分，
，，
，
__________________（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）；；；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，平行四边形的判定，
（1）根据题意作的角平分线，交于点；
（2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义，进行推理证明，即可求解．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
（两直线平行，内错角相等），
又平分，平分，
，，
，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：，，，同位角相等，两直线平行．
22. 今年入春以来，我国北方很多地区都经历了多次强烈沙尘天气，但是川渝地区却没有这个困扰，因为秦岭凭借“一己之力”阻挡沙尘暴南下，那么，秦岭是如何挡住风沙的？NK中学的同学通过开展秦岭知识问答活动普及相关知识．现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理，描述和分析，将学生活动成绩分为A、B、C、D四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息：
抽取的20名八年级学生的成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
抽取的九年级等级C的学生成绩为：88，83，84，81，87，85，89．
抽取的八，九年级学生活动成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，_______，________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识问答活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若八，九年级共有1200名学生参加活动，请估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人．
【答案】（1）87.5；86；40
（2）九年级的成绩更好，理由见解析
（3）估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共约有420人
【解析】
【分析】（1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由九年级D等级的人数可求出m的值；
（2）根据平均数，中位数，众数定义可判断得出答案；
（3）利用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，九年级B等级人数为：（人），
A等级人数为：（人），
抽取的九年级的学生成绩从小到大排列，排在中间的数分别为：87、88，
故九年级学生活动成绩中位数；
抽取的20名八年级学生的成绩中，86出现的次数最多，故众数；
，即．
故答案为：；86；40；
【小问2详解】
解：九年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的成绩平均数相同，但九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级，所以九年级的成绩更好；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共约有420人．
【点睛】本题考查中位数，众数，样本估计总体，平均数等知识，解题的关键是掌握中位数，众数等概念．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求线段的长度；
（2）点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2）最大值6，P坐标为
（3）N的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）在中，得，即可得线段的长度为；
（2）由，得抛物线的对称轴是直线，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，故新抛物线解析式为，新抛物线的对称轴为直线；设，，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，且，②若为对角线，则的中点重合，且，③若为对角线，则的中点重合，且，分别列方程组即可解得答案．
【小问1详解】
在中，令，得；
∴；
令得：，
解得，或，
∴，
∴，
∴线段的长度为；
【小问2详解】
∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
设，
设直线的解析式为，
把代入，得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴,
∵关于直线对称，
∴,
∴，
∵，
∴当时，取最大值6，
此时P坐标为；
【小问3详解】
∵，
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴新抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线；
设，则，
而，
①若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：或（此时M不在射线上，舍去）；
∴；
②若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：（此时N，P重合，舍去）或，
∴；
③若为对角线，则的中点重合，且，
∴，
解得：或，
∴或；
综上所述，N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，菱形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
24. 在中，为边上一点，连接，为上一点，连接，．
（1）如图1，延长交于点，若平分，平分，，，，求的周长；
（2）如图2，连接，若，，为中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，连接，为的中点，连接，当点到的距离最小时，直接写出的值．
【答案】（1）29.9
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）截取，构造两对全等即可解题；
（2）截取，延长到，使，证明，证明为中位线，即可解题．
（3）分析当时为所求，设为单位1，利用证明的，和含的直角三角形的三角函数，表示出所求边，再利用勾股定理，求出问题即可．
【小问1详解】
如图1，截取，连接，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
的周长．
【小问2详解】
．
如图2，截取，连接，
延长到，使，连接，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
为中点，
为中位线，
，即，
，即．
【小问3详解】
如图4，延长交于，使，
过作与，交的延长线交于点，作，
点是中点，
，
当最小时最小，
翻折得到，
，，
，
且，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设为单位1，
，
，，
，
，
为中点，且，
为中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，中位线的性质，三角函数，勾股定理等知识点，解题关键是构造解题所需要的全等，以及分析点到直线间的最小值．学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
91