北师版八年级第一学期数学期末模拟训练试卷（原卷+解析卷）

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1．9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．±
【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．
【解答】解：9的平方根是：
±＝±3．
故选：B．
2 .如果在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可．
【详解】解：∵在y轴上，
∴
解得，
∴点P的坐标是（0，-2）．
故选B．
3．估计+1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
即+1在4和5之间，
故选：C．
4 .若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3B．5C．－3D．－5
【答案】B
【分析】把代入ax-2y=1计算即可．
【详解】解：把代入ax-2y=1得，
a-4=1，
解得a=5，
故选：B．
5 .某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．15，13C．15，14D．14，15
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的定义计算判断即可．
【详解】∵数据15出现的次数最多，为4次，
∴该组数据的众数是15；
∵该组共有1+3+4+2=10个数据，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数，
∵1+3＜5＜1+3+4，1+3＜6＜1+3+4，
∴第五个，第六个数据都在15这一组中，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数为=15，
故选A．
6 .已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】根据一次函数图象进行判断．
【详解】解：一次函数的图象经过第二、三、四象限，
，．
故选D．
7 .如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）

A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可．
【详解】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
8 .如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，
则每个小长方形的周长是（ ）

A．60厘米B．80厘米C．100厘米D．120厘米
【答案】D
【分析】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
【详解】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，
根据题意可得：，
解得：，
∴每个小长方形的周长是 （厘米）
故选D．
9 .如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，
那么下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．
其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．
【详解】解：∵BF是∠AB的角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；故①正确；
同理，EF＝CE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；
当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，
但△ABC不一定是等腰三角形，
∴DF不一定等于EF，故④错误．
故选：C．
10 .甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确；
令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，
当100﹣40t＝50时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣50时，可解得t＝，
又当t＝时，y甲＝50，此时乙还没出发，
当t＝时，乙到达B城，y甲＝250；
综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距50千米，故④不正确；
综上可知正确的有①②③共三个，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分．
11 .计算： ．
【答案】2
【分析】先化简，在合并同类二次根式，最后约分化简即可
【详解】；
故答案为：2
12 .若点都在一次函数的图象上，则______．（填“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式中，可得y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴y随x的增大而减小，
∵，点都在一次函数的图象上，
∴，
故答案为：．
某大学生招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算，
已知小明数学得分为95分，物理得分为90分，那么小明的综合得分是_______分．
【答案】93
【解析】
【详解】根据题意得，95×60%+90×40%=93.
故答案为93.
14 .有一个数值转换器，流程如下：

当输入的值为时，输出的值是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】依据运算程序进行计算即可．
【详解】解：根据步骤，输入，先有，是有理数，
的立方根是，是有理数，
返回到第一步，取算术平方根是，是无理数，
最后输出
故答案为：．
15 . A，B两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，
两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，
甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发 小时后与乙相遇．
【分析】根据题意结合图象分别求出甲减速后的速度已经乙的速度，再列方程解答即可．
【解答】解：甲减速后的速度为：（20﹣8）÷（4﹣1）＝4（km/h），
乙的速度为：20÷5＝4（km/h），
设甲出发x小时后与乙相遇，根据题意得
8+4（x﹣1）+4x＝20，
解得x＝2．
即甲出发2小时后与乙相遇．
故答案为：2．
16 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，
任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，
大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，
若CD＝1，则BD的长是 ．

【答案】2
【分析】由题意知AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，如图，则由角平分线的性质可得DE=DC=1，然后在Rt△BDE中利用30°角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：由题意知：AD是∠BAC的平分线，
过点D作DE⊥AB于点E，如图，则DE=DC=1，
在△BDE中，∵∠BED=90°，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
故答案为：2．
三、解答题：（本题共9小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘除法计算，然后合并同类项，即可得到答案；
（2）先根据二次根式的乘法、二次根式的性质进行化简，然后合并同类项，即可得到答案．
【详解】（1）
；
（2）
．
如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析，4；
(2)（−4，3）；
(3)（10，0）或（－6，0）．
【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；
（3）根据三角形的面积求出BP＝8，进而可得点P的坐标．
【详解】（1）解：△ABC如图所示，△ABC的面积是：3×4−×1×2−×2×4−×2×3＝4，
故答案为：4；
（2）解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，
∴点D的坐标为：（−4，3）；
故答案为：（−4，3）；
（3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2−8＝－6，
故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．
19 .解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由①，得，把方程③代入方程②求出，代入③求出得y即可；
（2）①×3+②×2，得出13x=26，求出x=2代入①求出y即可．
【详解】（1）解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
，
把③，得y=-2，
；
（2）解：
①×3，②×2，得
，
③+④，得
13x=26，
x=2.，
把①，得y=4，
．
20 . 如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，
CD＝BF．求证：AB∥DE．

【分析】证明Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），得出∠B＝∠D，即可得出AB∥DE．
【解答】证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴△ABC和△EDF为直角三角形，
∵CD＝BF，
∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥DE．
21 . 期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，
并将收集到的数据整理成如图的统计图．
（1）这次一共调查的学生人数是 人；
（2）所调查学生读书本数的众数是 本，中位数是 本．
（3）若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？
【分析】（1）将条形图中的数据相加即可；
（2）根据众数和中位数的概念解答即可；
（3）先求出平均数，再解答即可．
【解答】解：（1）1+1+3+4+6+2+2+1＝20，
故答案为：20；
（2）众数是4
中位数是4，；
故答案为：4；4；
（3）每个人读书本数的平均数是：
＝（1+2×1+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8）
＝4.5
∴总数是：800×4.5＝3600
答：估计该校学生这学期读书总数约3600本．
22．某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，
除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费，而乙种方式不需要．
两种收费方式 的费用 y(元)与印刷份数 x(份)之间的函数关系如图所示．

（1）甲种收费方式的函数关系式是 ，乙种收费方式的函数关系式是 ；
（2）该校八年级每次需印制 400 份学案，选择哪种印刷方式印刷比较合算？说明理由．
【答案】（1）；
（2）选择甲种印刷方式较合算，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设甲种收费的函数关系式，乙种收费的函数关系式是，直接运用待定系数法就可以求出结论；
（2）将分别代入(1)中解析式，比较即可求解．
【小问1详解】
设甲种收费的函数关系式，乙种收费的函数关系式是，由题意，得
，，
解得：，，
∴；
【小问2详解】
当时，，，
∵，
∴甲种印刷方式较合算
甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，
如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；
折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；
请根据图象解答下列问题：
（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为 y＝60x ；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．

解：（1）设货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，根据题意得
5k1＝300，
解得k1＝60，
∴y＝60x，
即货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；
故答案为：y＝60x；
（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
，解得，
∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
解方程组，解得，
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
（3）80÷60＝，即点B的坐标（，0），
∴轿车开始的速度为：（千米/时），
当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，
由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
25 . 如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，
若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线AM的表达式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）当x＝0时，y＝8，
∴B（0，8），
当y＝0时，﹣x+8＝0，
x＝6，
∴A（6，0）；
（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
由折叠得：AB＝AB'＝10，
∴OB'＝10﹣6＝4，
设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，
由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，
a＝3，
∴M（0，3），
设AM：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；
（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图
∵M（0，3），B′（﹣4，0），
∴B′M＝5，
当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）；
当B′M＝PM时，P3（4，0），
当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q，连接MP4，
设OP4＝m，则P4M＝P4B′＝4﹣m，
∵PM2＝OP2+PM2，
∴（4﹣m）2＝m2+32
解得m＝，
∴P4（﹣，0），
综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
类别
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
甲
25
35
乙
35
48