2022-2023学年四川省绵阳市三台县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省绵阳市三台县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,−2)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
2.下列计算，正确的是( )
A. a2⋅a2=2a2B. a2+a2=a4
C. (−a2)2=a4D. (a+1)2=a2+1
3.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：−3xy(4y−2x−1)=−12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内上应填写( )
A. 3xyB. −3xyC. −1D. 1
4.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. a(x−y)=ax−ayB. x2−1=(x+1)(x−1)
C. (x+1)(x+3)=x2+4x+3D. x2+2x+1=x(x+2)+1
5.如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
6.如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将△ABC分成3个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC=( )
A. 3：2：4B. 1：1：1C. 2：3：4D. 4：3：2
7.若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值是( )
A. 12B. 72C. ±36D. ±12
8.已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是( )
A. 12cmB. 16cmC. 16cm或20cmD. 20cm
9.速录员小明打2500个字和小刚打3000个字所用的时间相同，已知小刚每分钟比小明多打50个字，求两人的打字速度．设小刚每分钟打x个字，根据题意列方程，正确的是( )
A. 2500x=3000x−50B. 2500x=3000x+50C. 2500x−50=3000xD. 2500x+50=3000x
10.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论不一定正确的是( )
A. DE=DFB. BD=CD
C. AE=AFD. ∠ADE=∠ADF
11.如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是( )
A. (12)n−1⋅80°B. (12)n−1⋅20°C. (12)n⋅80°D. (12)n⋅20°
12.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC=76°，点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，射线CP交AB的延长线于点D，下列四个结论：①∠ACB=76°，②∠APB=38°，③∠D=24°，④AB+BC>AP+PC.其中正确的结论共有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=______．
14.红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为______．
15.若3x−1=127，则x= ______ ．
16.关于x的分式方程m−1x−1=3的解为非负数，则m的取值范围是______．
17.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，当点P运动______秒时，△ABP和△DCE全等．
18.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)−(−1)2022−(π−3.14)0+(−12)−2；
(2)(x+3)(x−4)−x(x+2)−5．
20.(本小题8分)
按要求解答下列各题：
(1)解方程：2x+1+3x−1=6x2−1；
(2)先化简，再求值：x2+2x+1x+2÷x2−1x−1−xx+2，其中x是不等式组2−(x−1)≥2x2x−53−x≤−1的整数解．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A(−2,4)B(−4,2)，C(−3,1)，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1(点A、C分别对应A1、C1)，并分别写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．
22.(本小题8分)
已知：如图，AD//BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．
(1)求证：△ADE≌△BEC；
(2)若DE=10，试求△CDE的面积．
23.(本小题8分)
今年安州区的葡萄喜获丰收，葡萄一上市，水果店的王老板用4000元购进一批葡萄，很快售完；老板又用9000元购进第二批葡萄，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了10元．
(1)第一批葡萄每件进价多少元？
(2)王老板以每件120元的价格销售第二批葡萄，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批葡萄的销售利润不少于2280元，剩余的葡萄每件售价最少打几折？(单件利润=售价−进价)
24.(本小题8分)
在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点(不包括端点)，点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①
(1)求证：∠ACN=∠AMC；
(2)记△ANC得面积为S1，记△ABC得面积为S2.求证：S1S2=ACAB；
(3)延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②.探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？(写出探究过程)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：点A(−1,−2)关于x轴对称的点的坐标是：(−1,2)．
故选：C．
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)，即可得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则及完全平方公式，熟练掌握其法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘判断A，根据合并同类项法则判断B，根据积的乘方与幂的乘方判断C，根据完全平方公式判断D．
【解答】
解：A.a2⋅a2=a4，故此选项错误；
B.a2+a2=2a2，故此选项错误；
C.(−a2)2=a4，故此选项正确；
D.(a+1)2=a2+2a+1，故此选项错误．
故选C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查单项式乘多项式，属于基础题．
先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【解答】
解：∵左边=−3xy(4y−2x−1)
=−12xy2+6x2y+3xy．
右边=−12xy2+6x2y+□，
∴□内上应填写3xy．
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误，
故选：B．
【分析】本题考查了因式分解的概念，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
5.【答案】D
【解析】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点D′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，
O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：D．
我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OF，
同理，OD=OE=OF，
∴S△OAB：S△OAC：S△OBC=12×AB×OD：12×BC×OE：12×AC×OF=AB：BC：AC=6：4：8=3：2：4，
故选：A．
过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7.【答案】D
【解析】解：∵4x2+kxy+9y2是完全平方式，
∴kxy=±2×2x⋅3y，
解得k=±12．
故选：D．
本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是2x和3y的平方，那么中间项为加上或减去2x和3y的乘积的2倍．
本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
8.【答案】D
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
解：当腰长为4cm时，4+4=8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8cm时，4+8>8，符合三角形三边关系，其周长为8+8+4=20(cm)．
故该三角形的周长为20cm．
故选：D．
9.【答案】C
【解析】解：设小刚每分钟打x个字，根据题意列方程得：2500x−50=3000x，
故选：C．
设每分钟打x个字，则小刚每分钟比小明多打50个字，根据速录员小明打2500个字和小刚打3000个字所用的时间相同，列方程即可．
本题考查了有实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，∠ADE=∠ADF．
【解答】
解：如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，
只有AB=AC时，BD=CD．
综上所述，结论错误的是BD=CD．
故选B．
11.【答案】C
【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA1A=180°−∠B2=180°−20°2=80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=∠BA1A2=80°2=40°；
同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴∠An=(12)n−1⋅80°，
以An为顶点的一个底角为∠An+1，
∴∠An+1=(12)n⋅80°．
故选：C．
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An+1的度数．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，在AC的延长线上截取CE=CB，连接PE．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=76°，∠CAB=28°
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，
∴∠CBP=∠PBD，∠CAP=∠BAP，CD平分∠BCE，
2∠CBP=∠ACB+2∠CAP，∠CBP=∠CAP+∠APB，
∴∠APB=12∠ACB=38°，
∴∠BCD=∠ECD=12(180°−76°)=52°，
∴∠D=∠ECD−∠CAB=52°−28°=24°，
故①②③正确，
PC=PC，∠PCE=∠PCB，CE=CB，
∴△PCE≌△PCB(SAS)，
∴PE=PB，
∵AB=AC，AP=AP，∠PAC=∠PAB，
∴△PAC≌△PAB(SAS)，
∴PC=PB=PE，
∴PA+PC=PA+PE>AC+CE，
∵AB=AC，BC=CE，
∴PA+PC>AB+BC，故④错误，
故选：C．
如图，在AC的延长线上截取CE=CB，连接PE.由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=76°，由点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，推出∠APB=12∠ACB=38°，CD平分∠BCE，推出∠BCD=∠ECD=12(180°−76°)=52°，推出∠D=∠ECD−∠CAB=52°−28°=24°，故①②③正确，利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系可以证明④错误；
本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】2
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，
∴AB=BC=CA，BD=CD，
∵等边△ABC周长是12，
∴BC=4，
∴BD=2．
故答案为2．
根据等边三角形的性质求得BD=CD，并且求得边BC的长度，进而即可求得BD的长．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
14.【答案】7.7×10−6
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
根据科学记数法对数据进行转化即可．
【解答】
解：0.0000077=7.7×10−6．
15.【答案】−2
【解析】解：由题意可知：3x−1=3−3，
∴x−1=−3，
∴x=−2，
故答案为：−2．
根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
本题考查负整数指数幂，解题的关键是正确理解负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
16.【答案】m≥−2且m≠1．
【解析】解：m−1x−1=3
去分母，得m−1=3(x−1)．
去括号，得m−1=3x−3．
移项，得m−1+3=3x．
合并同类项，得m+2=3x．
x的系数化为1，得x=m+23．
∵关于x的分式方程m−1x−1=3的解为非负数，
∴m+23≠1且 m+23≥0．
∴m≥−2且m≠1．
故答案为：m≥−2且m≠1．
先解关于x的分式方程m−1x−1=3，再根据解为非负数，进而解决此题．
本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
17.【答案】1或7
【解析】解：设点P运动t秒时，△ABP和△DCE全等．
∵AB=CD，∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
∴t=1，
∵AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16−2t=2，
解得t=7．
即当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
设点P运动t秒时，△ABP和△DCE全等．分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16−2t=2即可求得．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18.【答案】1或3
【解析】
解：当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，
过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFB=90°，
∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∵BE=AB+AE=1+2=3，
∴FB=12EB=32，
∴CF=FB−BC=12，
则CD=2CF=1；
当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，
过E作EF⊥BD，垂足为F点，可得∠EFC=90°，
∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∵BE=AE−AB=2−1=1，
∴FB=12BE=12，
∴CF=BC+FB=32，
则CD=2CF=3，
综上，CD的值为1或3．
故答案为：1或3
当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，由EC=ED，利用三线合一得到F为CD的中点，再由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ABC=60°，可得出∠BEF=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出BF的长，由BF−BC求出CF的长，即可得到CD的长；
当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF⊥BD，垂足为F点，由EC=ED，利用三线合一得到F为CD的中点，再由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ABC=∠EBF=60°，可得出∠BEF=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出BF的长，由BF+BC求出CF的长，即可得到CD的长．
此题考查了等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)−(−1)2022−(π−3.14)0+(−12)−2
=−1−1+4
=2．
(2)(x+3)(x−4)−x(x+2)−5
=x2−x−12−x2−2x−5
=−3x−17．
【解析】(1)根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方计算法则求解即可；
(2)根据整式的乘法展开，合并同类项即可求解．
本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的乘法的综合，掌握乘方的运算法则，整式的乘法的运算，合并同类项的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)方程两边同乘x2−1可得2(x−1)+3(x+1)=6，
解得x=1，
检验：当x=1时，x2−1=0，
∴x=1不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
(2)x2+2x+1x+2÷x2−1x−1−xx+2
=(x+1)2x+2⋅1x+1−xx+2
=x+1x+2−xx+2
=1x+2，
解不等式组2−(x−1)≥2x2x−53−x≤−1得−2≤x≤1，
∵x是整数，
∴x=−2，−1，0，1；
∵当x=−2，−1，1时，原分式无意义，
∴x只能取0.当x=0时，原式=12．
【解析】(1)先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，最后再检验即可；
(2)先根据分式的混合运算法则化简原分式得到1x+2，然后再求不等式组2−(x−1)≥2x2x−53−x≤−1的整数解，确定符合条件的x的值，最后代入求解即可．
本题主要考查了解分式方程、分式的化简求值、解不等式组等知识点，灵活运用分式的混合运算法则以及确定x的值是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

由图可知：A1(−2,−4)，B1(−4,−2)，C1(−3,−1)；
(2)如图所示：点P即为所求．

【解析】(1)通过，找点，描点，连线画出△A1B1C1，根据图形，写出点A1，B1，C1的坐标即可；
(2)作出点A关于y轴的对称点A′，连接A′B1，A′B1与y轴的交点即为所求．
本题考查坐标与轴对称，轴对称作图．熟练掌握轴对称的性质和作图方法，是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AD/​/BC，∠A=90°，∠1=∠2，
∴∠A=∠B=90°，DE=CE，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
AD=BEDE=CE∠A=∠B=90°，
∴△ADE≌△BEC(HL)．
(2)由△ADE≌△BEC得∠AED=∠BCE，
∴∠AED+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE的面积为：12×10×10=50．
【解析】(1)根据题意得∠A=∠B=90°，然后推得AD=BE，DE=CE从而证明△ADE≌△BEC；
(2)由△ADE≌△BEC，得∠AED=∠BCE，再推得∠DEC=90°，即可求解．
本题考查了全等三角形，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设第一批葡萄每件进价x元，则第二批葡萄的进价为(x+10)元，
根据题意，得2×4000x=9000x+10，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的解且符合题意，
答：第一批葡萄每件进价为80元．
(2)设剩余的葡萄每件售价打y折．根据题意，
得900080+10×120×0.8+900080+10×120×(1−0.8)×0.1y−9000≥2280，
解得y≥7．
答：剩余的葡萄每件售价最少打7折．
【解析】(1)设第一批葡萄每件进价x元，则第二批葡萄的进价为(x+10)元，然后根据用9000元购买第二批葡萄的件数是用4000元购进一批葡萄的件数的2倍列出方程求解即可；
(2)设剩余的葡萄每件售价打y折，根据总利润=(售价−进价)×件数列出不等式求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等关系是解题的关键．
24.【答案】解：(1)因为∠BAC=45°，
所以∠AMC=180°−45°−∠ACM=135°−∠ACM，
因为∠NCM=135°，
所以∠ACN=135°−∠ACM，
所以∠ACN=∠AMC；
(2)过点N作NE⊥AC于E，
因为∠CEN=∠CDM=90°，
在△NEC和△CDM中，
∠NEC=∠CDM=90°∠NCE=∠CMDCN=MC,
所以△NEC≌△CDM(AAS)
所以NE=CD，CE=DM；
因为S1=12AC⋅NE，S2=12AB⋅CD，
所以S1S2=ACAB；
(3)当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，
理由如下：过点N作NE⊥AC于E，
由(2)可得NE=CD，CE=DM，
因为AC=2BD，BP=BM，CE=DM，
所以AC−CE=BD+BD−DM
所以AE=BD+BP=DP，
在△NEA和△CDP中，
NE=CD∠NEA=∠CDP=90°AE=PD
所以△NEA≌△CDP(SAS)
所以AN=PC．
【解析】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
(1)由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°−∠ACM；
(2)过点N作NE⊥AC于E，由“AAS”可证△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面积公式可求解；
(3)过点N作NE⊥AC于E，由“SAS”可证△NEA≌△CDP，可得AN=CP．