2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县实验高级中学高一上学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县实验高级中学高一上学期期末数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可．
【详解】因为集合，，，
.
故选：A．
2．设，，，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以0和1为桥梁，分别比较与0，1的大小关系，即可得到答案.
【详解】因为，所以；
因为，所以；
因为，所以.
所以.
故选：A
3．设命题，使，则使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出命题为真命题的充要条件，再根据集合的包含关系得到一个充分不必要条件.
【详解】解：设，则为真命题，
在内零点，
，
即命题为真命题的充要条件为，
因为，
所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以是；
故选：D.
4．已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为（ ）
A．B．C．8D．2
【答案】A
【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和面积公式，求得，则可求出扇形的周长.
【详解】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
已知扇形的圆心角为2 rad，则，
扇形面积，
所以扇形的周长，
故选：A.
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得的定义域，然后结合求得的定义域.
【详解】函数的定义域为，即，则，
所以对于，有，解得，即的定义域为；
由解得，
所以的定义域为.
故选：A
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性和特殊值法进行判断．
【详解】因为，所以是偶函数，故A，C错误；
，选项B符合函数，D不符合
故选：B.
7．已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围.
【详解】，
∵函数在区间内单调递增，
∴，∴，
∵，∴，
若在区间上单调递增，则，
解得，当时，，又因为，∴.
故选：A
8．已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可.
【详解】由知是周期为2的周期函数，
函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点，
①当时,画出函数与的图象如下图所示,
根据图象可得,即.
②当时,画出函数与的图象如下图所示,
根据图象可得,即 .
综上所述,的取值范围是.
故选：A
二、多选题
9．若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】CD
【分析】由题意可得，从而可得所以当时，，又因为，所以必有成立，结合选项，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以当时，即，，
又因为，
所以，
所以的可能取值为.
故选：CD.
10．已知实数均不为1，且满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】A，B选项利用基本不等式的性质即可；C选项利用函数的单调性即可；取判断D选项即可.
【详解】实数均不为1，且满足，
所以，
故A选项正确；
由，所以，
所以，
所以，
所以成立，故B选项正确；
由函数在R上单调递减，且
所以，故C选项错误；
当时，，
故D选项错误；
故选：AB.
11．下列各小题中，是的充要条件的是（ ）
A．p：或；q：有两个不同的零点；
B．p：；q：是偶函数；
C．p：；q：；
D．p：；q：
【答案】AD
【分析】A选项利用判别式进行判断，B选项根据分母不为零容易判断，C选项结合同角三角函数的关系判断，D选项根据集合的包含关系判断.
【详解】A选项，有两个不同的零点，即，即，解得或，于是是的充要条件，A选项正确；
B选项，中所表示的偶函数必须，而中的偶函数的值域无限制，B选项错误；
C选项，无法推出，例如，但，进而无法推出，C选项错误；
D选项，根据集合的包含关系，，，故D选项正确.
故选：AD
12．给出定义：若其中 m为整数，则 m叫做离实数 x最近的整数，记作设函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数为的增函数
B．函数为偶函数
C．函数的最大值为
D．函数有无数个解
【答案】ACD
【分析】根据新定义得出函数解析式，再取几个特殊值进行画图像，从图像中研究函数的规律进行判断
【详解】由题意可得，即，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
画出图像，由是将在轴下方的图像翻折上去，可以判断
函数在不断上升，满足在递增，所以A正确，
函数图像可得，，即，则不是偶函数，所以B错误，
当，由图像可得，所以选项C正确，
画出，与在轴右侧图像有交点，令，
，当，时，，，
，即，根据零点存在定理，时，
一定有零点，故函数有无数个解，
所以选项D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：本题属于函数新定义题型，涉及到的方法有：
(1)函数零点可利用零点存在定理，也可利用图像转化为两个函数的交点求解
(2)奇偶性的判断除了使用定义外，也可利用函数对称性来判断
(3)分段函数的单调性结合图像判断，同时满足各个区间段上单调和区间分段点上函数单调
三、填空题
13．幂函数在上单调递减，则 .
【答案】4
【分析】根据题意可得且，从而可求出的值.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以且，
由，得，，
解得或，
当时，不满足，所以舍去，
当时，满足，
综上，，
故答案为：4
14．在等式的等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，则这两个数的积为 .
【答案】
【分析】将题意转化为，，求最小时的值，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由题意，即，，求最小时的值.
因为，当且仅当，即时取等号，此时，.
故答案为：
15．已知函数.若，则 .
【答案】
【分析】找到和的关系，由此得出的值.
【详解】，，
故答案为：
16．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为，利用复合函数单调性的判断方法可知在上单调递减，由此得到；分别讨论、和的情况，根据一次函数单调性确定，由可解不等式求得的范围.
【详解】对任意的，总存在，使得成立，；
，
在上单调递减，单调递增，
在上单调递减，；
当时，，则，满足题意；
当时，在上单调递减，，
，解得：；
当时，在上单调递增，，
，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
四、计算题
17．化简求值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂运算公式和诱导公式计算即可；
（2）利用对数运算法则和换底公式计算即可.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
五、问答题
18．集合，.
(1)求
(2)若“则”是假命题，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解三角不等式求得集合，由此求得.
（2）根据全称量词命题是假命题列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）对于，在上单调递减，
所以，所以.
所以.
（2）由（1）得，而，
由于“则”是假命题，即集合不是集合的子集，
则集合不是空集，所以，则，
此时集合不是集合的子集，
所以的取值范围是.
19．已知函数的最大值为2且两相邻零点的距离的绝对值为.
(1)求出的解析式；
(2)求方程在区间上所有解的和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正弦函数的图象性质求解；
（2）根据正弦函数的图象性质求解.
【详解】（1）由题意可知，所以，且，
所以；
（2）因为，所以，
所以或，
所以或，
又因为，所以的取值为，，，，
所以方程在区间上所有的解的和为.
20．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，）
【答案】(1)选择模型符合要求；该函数模型的解析式为，，；
(2)六月份.
【分析】（1）根据两函数特征选择模型，并用待定系数法求解出解析式；
（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合，解出，得到答案.
【详解】（1）函数与在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，
因此选择模型符合要求．
根据题意可知时，；时，，
∴，解得．
故该函数模型的解析式为，，；
（2）当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是，
由，得，
∴，
∵，∴，
即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．
21．已知，．
(1)当，求的值；
(2)求函数的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式，立方差公式即可计算求解；
（2）先求出，再利用换元法求得，进而根据二次函数的性质即可求得其最大值．
【详解】（1）当时，即，
两边平方，可得，
则，所以，
所以，
所以．
（2）因为，即，
又，则，
将两边平方，可得，则，
则，
又，所以当时，取得最大值，且最大值为1．
六、证明题
22．已知函数.
（1）证明函数在上为减函数；
（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；
（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.
【解析】（1）利用单调性定义证明即可.
（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据奇偶性定义可判断函数的奇偶性.
（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的取值范围.
【详解】（1），，，
又，
因为，，，故，，，
故即，所以函数在上为减函数.
（2）的满足的不等关系有：即，
故，解得，
故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称.
令
又
，
故为奇函数.
（3）令，因为，故.
故在上不等式能成立即为
存在，使得，所以在上能成立，
令，则且，
由基本不等式有，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，所以a的取值范围为.
【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.