2023-2024学年广东省东莞市四校高一上学期期中联考数学含答案

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注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
第I卷（选择题共60分）
一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）
1. 若集合，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系判断．
【详解】由已知中含有元素0，1，2，因此，A、B均错，集合中比集合多一个元素，因此应有，C错，由空集是任何集合子集知D正确．
故选：D.
【点睛】本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系及表示方法，属于基础题．
2. 命题“”的否定是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.
考点：全称命题与存在性命题.
3. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解.
详解】，
故是的必要不充分条件，
故选：B
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据具体函数的定义域，先分别求每一个式子满足的定义域，再求交集即可
【详解】由题可知，函数定义域应满足，解得
故选：C
【点睛】本题考查具体函数的定义域的求法，属于基础题
5. 设函数，则的值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合分段函数的分段条件，分别代入计算，即可求解.
【详解】∵函数，
∴.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中结合分段函数的分段条件，分别代入，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.属于容易题.
6. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
7. 下列可能是函数的图象的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.
【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D，
故选：C.
8. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.
【详解】解：因为函数满足对任意的，都有成立，
所以函数是定义在上的减函数，
所以，解得，所以
故选：B
【点睛】本题考查函数单调性的判断、利用分段函数的单调性求参数范围，是中档题.
二､多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.）
9. 以下结论正确是（）
A. 不等式恒成立
B. 存在，使得不等式成立
C. 若，则
D. 若正实数满足，则
【答案】BC
【解析】
【分析】集合基本不等式成立条件和乘“”法确定.
【详解】对于A，不等式恒成立的条件是，故A错误；
对于B，当时，不等式成立，故B正确；
对于C，若，则，当且仅当时取等号；
对于D，若正实数满足，则，
当且仅当，即时取等号；故D错误.
故选：BC
10. 已知，则下列不等式中错误的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用作差比较法与不等式的性质逐一判断即可.
【详解】在两边同除以负数得，即，与A项矛盾.
由，，得，与B项矛盾.
由，，，
故不一定小于0，故C不正确.
由得，又，两式相乘得，
两边同除以负数，可得，故D正确.
故选：ABC.
11. 函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（）
A. B. ，
C. 有最大值D. 最小值为0
【答案】BD
【解析】
【分析】转化为分段函数求出的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的单调性确定各选项即可得解
【详解】令，即，解得或，
所以可知，
所以，故A错误；
当时，，故B正确；
由（或）可知，函数无最大值，故C错误；
当或时，，当时，，
所以最小值为0，故D正确.
故选：BD
12. 已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A. 在上为减函数B. 的最大值是1
C. 的图象关于直线对称D. 在上
【答案】BCD
【解析】
【分析】
先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD正确.
【详解】因为当时，，则函数在上递减，
又函数偶函数，所以在上为增函数；故A错；
因为函数是偶函数，是奇函数，
所以，，则，
所以，则，即，
所以以为周期；
则，所以关于直线对称，
因此当时，；
当时，，则，又，所以；
因为偶函数关于轴对称，所以当时，；
综上，当时，；
又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确；
因为，函数为偶函数，
所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确；
因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数，
所以在上也满足恒成立；故D正确；
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：
求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可.
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13. 不等式的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】将不等式变形，再求出一元二次方程的根，即可写出不等式的解集.
【详解】不等式等价于
由于方程的解为：或
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查的是一元二次不等式的解法，是基础题.
14. 设全集是实数集，或，，则图中阴影部分所表示的集合是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由图可知，阴影部分为，根据补集运算求出，再根据交集运算，即可求出结果.
【详解】由图可知，阴影部分为，
∵或，∴
∴．.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，以及图得应用，属于基础题.
15. 已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数与减函数的性质，结合定义域得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为，则，
因为是奇函数，所以．
又函数是定义在上的减函数，
所以，解得，
故所求不等式的解集为．
故答案为：.
16. 定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作.
①若，则____；
②若，且，则实数的取值范围是____.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数在区间上的单调性，直接计算极差；
（2）对进行分类，再考虑的单调区间满足什么条件时，能使得条件成立.
【详解】①由题意知，，所以，所以.
②当时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，要满足，只需，所以
当时，函数区间上单调递增，不满足.
综上所述，.填.
【点睛】本题属于新定义问题，难度中等，中间涉及到的对勾函数的单调区间需要注意.
四､解答题（本大题共6小题，第17题10分，18､19､20､21､22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.）
17. 已知集合.
（1）若，求
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将直接代入求并集即可；
（2），分别讨论与的两种情况，根据集合的包含关系列出相应不等式即可求出范围.
【小问1详解】
由题意，
∵，
∴，
∴
【小问2详解】
∵，
∴，
∴当，即，即时满足题意；
当，即时，，即.
综上，实数的取值范围为.
18. 已知幂函数为偶函数.
（1）求幂函数的解析式；
（2）若函数，根据定义证明在区间上单调递增.
【答案】（1）；
（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解；
（2）由（1）得，设,作差即可证明.
【小问1详解】
因为是幂函数，
所以,解得或.
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意.
故.
【小问2详解】
由（1）得，故.
设,
则，
因为，所以，，所以,
所以，即，
故在区间上单调递增.
19. 已知为上的奇函数，当时，.
（1）求的值并求出在上的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性结合求出m，求出时的表达式，即得答案；
（2）法一：根据分段函数的解析式，分段求解不等式，可得答案；
法二，判断函数的单调性，计算得，根据函数的单调性解不等式，即得答案.
【小问1详解】
由题可知为上的奇函数，故；
又，即，
则时，
当时，则，
又为奇函数，所以，
所以
故在上的解析式为.
【小问2详解】
（法一）若，则或，
解得，所以的取值范围为.
（法二）由（1）可知，
时，在上单调递减，且；
时，在上单调递减，且，
则在上单调递减.
又因为，所以，即，
所以当时，，即的取值范围为.
20. 已知函数．
（1）若，且关于x不等式的解集是，求的最小值；
（2）设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）由韦达定理得，，再利用基本不等式可得答案；
（2）不等式在上恒成立可得，解不等式组可得答案．
【小问1详解】
因为，且关于x的不等式的解集是，
所以和是方程的两根，
所以．
所以＝＝
＝，当且仅当a＝1时等号成立，
所以的最小值为8；
【小问2详解】
因为关于x的不等式在上恒成立，
所以，所以，解得，
所以a的取值范围为．
21. 某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？
【答案】（1）日加工处理80吨时平均成本最低，处于亏损状态；
（2）选择方案二，日获利较多.
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式计算比较即可；
（2）利用二次函数的性质分类讨论计算比较即可.
【小问1详解】
由题意可得，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以每日处理厨余垃圾80吨时，平均成本最低，
又，所以此时处理厨余垃圾处于亏损状态；
【小问2详解】
若该企业采用第一种补贴方案，设企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1550元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1800元，
显然，如果我是决策者，我会选择方案二，企业每日获利较大.
22. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
（1）判断的奇偶性；
（2）判断函数单调性，求在区间上的最大值；
（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】22. 奇函数
23. 为上的减函数；
24.
【解析】
【分析】（1）令，求得，再令，从而得，从而证明求解.
（2）设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值.
（3）根据函数对所有的，恒成立，说明的最大值小于右边，因此先将右边看作的函数，解不等式组，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
为奇函数，证明如下：
令，则，所以，
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为.
【小问3详解】
由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故的取值范围为.