2023-2024学年江苏省南京市协同体九校高一上学期期中联合考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南京市协同体九校高一上学期期中联合考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定为:，.
故选：C
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先解一元二次不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】由解得且，
所以的定义域为.
故选：D
5．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由得，然后可计算求值.
【详解】由题意得：，得：，
所以：.故A项正确.
故选：A.
6．若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意知命题：存在，成立为真命题，再结合基本不等式得：，从而求解.
【详解】由题意得：存在，成立为真命题，
又因为：，当且仅当，即：取等号，
所以：，故B项正确.
故选：B.
7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，由已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】因为在上单调递减，
根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，
可得，
解得.
故选：C.
8．已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解.
【详解】令，
因为，当时，总有，即，
即，当时，总有，
所以在上递增，又因为，
所以，，
所以在上是偶函数，
又因为，
所以，即，
所以，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.
9．下列各组函数不是相同函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据函数定义域、对应关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.
B选项，，所以两个函数是相同函数，所以B选项正确.
C选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.
D选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.
故选：B
二、多选题
10．以下运算中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据对数的换底公式和对数的运算性质依次判断选项即可.
【详解】A项：由，，，故A项正确；
B项：由，得，所以：，得：，故B项错误；
C项：，故C项正确.
D项：，故D项正确.
故选：ACD.
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
【答案】BC
【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，关于的不等式的解集为或，
所以，A选项错误.
，即，
所以，
所以不等式的解集为，B选项正确.
，C选项正确.
，即，
解得，所以不等式的解集为，D选项错误.
故选：BC
12．已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：
①，都有；②，且时，都有；③，则下列成立的是（ ）
A．
B．若，
C．若，则
D．，R，使得
【答案】BD
【分析】根据已知三个条件，可以画出函数的简图，利用简图易于判断A项错误，B，C两项则可以
利用图像特征布列不等式（组）解决；D项中，根据图像可判断函数有最大值即可判断.
【详解】
由①知函数是偶函数；由②知函数在上是减函数；
由③知函数 经过点.综合①②③知，该函数图像关于轴对称，
且在轴右侧为减函数，又经过点和，故可作出函数简图如图.
对于选项A，显然，故A项错误；
对于选项B，由可得：或，由（Ⅰ）可得：
由（Ⅱ）可得：综合得，，故B项正确；
对于选项C，因函数是偶函数，且在上是减函数，故由
可得，故有，，解得：或，
即：，故C项错误；
对于选项D，因函数在上是增函数，在上是减函数，函数又是定义在上的，
故而图像必与轴相交，即函数有最大值，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
13．当时，函数的最小值为 .
【答案】3
【分析】由可得，由基本不等式可得，可求答案．
【详解】解：，由基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为3.
故答案为：3
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值，要注意配凑积为定值，同时考查学生灵活变形及选用知识的能力．
14．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质，可推得，，代入得出解析式，求出，即可得出的值.
【详解】根据奇函数的性质，可得，即，
所以，当时，.
所以，.
根据奇函数的性质，可得，
所以，.
故答案为：.
15．已知不等式的解集为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用判别式求得正确答案.
【详解】由于不等式的解集为，
所以，
解得.
故答案为：
16．若定义在上的函数，则称为狄迪克雷函数.对于狄迪克雷函数，下列结论中正确的是 （填序号即可）．
①函数为偶函数；
②对于任意，都有；
③对于任意两数，都有；
④对于任意，都有.
【答案】①④
【分析】根据新定义函数、函数的奇偶性等知识对四个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①，若，则，则；
若，则，则；
所以为偶函数，所以①正确.
②，由于，所以，所以②错误.
③，不妨设，
所以，，
此时，所以③错误.
④，若，则，则；
若，则，则，
所以对于任意，都有，④正确.
故答案为：①④
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
四、解答题
17．（1）求值：；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指数运算求得正确答案.
（2）根据对数运算求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．已知定义在上的奇函数满足：当时，，当时，.
(1)在平面直角坐标系中画出函数在上的图象，并写出单调递减区间；

(2)求出的解析式.
【答案】(1)图象详见解析，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性画出图象，并求得单调递减区间.
（2）根据函数的奇偶性求得的解析式.
【详解】（1）依题意可知，是奇函数，图象关于原点对称，由此画出的图象如下图所示，

由图可知，的单调递减区间为.
（2）当时，，所以，
所以.
19．在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解.
已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）代入，得出，然后根据交集的运算求解，即可得出答案；
（2）若选①，可推得，由已知列出不等式组，求解即可得出答案；若选②，可推得，由已知列出不等式组，求解即可得出答案；若选③，根据交集的运算结果，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）当时，，
所以，.
（2）若选①，
由可得，.
由已知可得，所以有，解得；
若选②“”是“”的充分条件，
由已知可得.
由已知可得，所以有，解得；
若选③，
由已知可得，所以有或，
解得或.
20．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【分析】（1）利用待定系数法求得的解析式.
（2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【详解】（1）依题意，是二次函数，且，
故可设，
则
，
所以，解得，所以.
（2）不等式，即，
，
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21．第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】(1)50
(2)至少应达到万件，商品的每件定价为20元
【分析】（1）由已知得出调价后的销售量，进而列出不等式，求解即可得出答案；
（2）根据已知列出不等式，分离参数可得.然后即可根据基本不等式，得出答案.
【详解】（1）设定价为元，则销售量为万件，
由已知可得，，
整理可得，，解得，
所以，该商品每件定价最多为50元.
（2）由已知可得，，.
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，.
所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元.
22．已知函数，
(1)求的值；
(2)用定义证明函数在上单调递增；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出的值，然后再代入计算即可得出答案；
（2），作差整理得出.根据已知范围，得出，即可得出证明；
（3）先根据定义判断函数的奇偶性，进而转化为.然后根据函数的单调性结合定义域，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，.
（2），
则
.
因为，
所以，，，，
所以，，
所以，，
所以，函数在上单调递增.
（3）由已知，定义域为，关于原点对称.
又，所以为奇函数.
由可得，.
由（2）函数在上单调递增，
可得，解得.