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2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期期中联考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期期中联考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，
则.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，；
故选：C
3．已知不等式的解集为，则的取值分别为（ ）
A．3，B．2，1C．，3D．1，2
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系即可解题.
【详解】由不等式的解集为，
则1和为方程的两根，且，
所以，解得.
故选：D
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，则或，解得或，
所以由推得出，即充分性成立，
由推不出，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．已知函数，且，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】令可判断为奇函数，则，再根据奇函数的性质计算可得.
【详解】令，，则，
所以为奇函数，
则，又，所以，即，
所以，
所以.
故选：D
6．设定义在上的奇函数满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，从而得到的取值情况，即可得解.
【详解】因为满足对任意，且，都有，
所以在上单调递减，
又为上的奇函数，所以在上单调递减，且，
又，所以，
所以当时，当时，当时，当时，
所以不等式的解集为.
故选：B
7．设，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，，，
恒成立，等价于恒成立，
因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4.
故选：B
8．设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（ ）
A．函数为偶函数B．若时，有
C．若时，D．若时，
【答案】D
【分析】先根据定义作的图像，然后依据图像逐个检验即可．
【详解】在同一坐标系中画出的图像（如图所示），
故的图像为图所示．
的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．
由图可知时，有，故B成立．
从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．
取，则，，，故D不成立．
综上，选D．
【点睛】一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．
二、多选题
9．设，，，为实数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质判断，利用特殊值判断BC，利用作差法，结合不等式的性质判断D.
【详解】由可得，，A正确；
时，，B不正确；
时，，C不正确；
因为，所以，所以 所以 ，D正确；
故选：AD.
10．函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】由奇函数的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，
所以，令可得：，故A正确；
对于B，若在上有最小值，则在上有最大值1，故B正确；
对于C，若在上为增函数，则在上为增函数，故C错误；
对于D，若时，，
则时，，，
因为是奇函数，所以，所以,故D正确.
故选：ABD.
11．设都是正数，且，下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】连等式一般可以先设为，分别求值后再逐个验证判断即可.
【详解】令，则，
所以，
对于A：两边同除等价于，
由上可知，，所以，A正确；
对于B：两边同除等价于，
由上可知，，所以，B错误；
对于C：两边同除等价于，
由上可知，，所以，C错误；
对于D：两边同除等价于，
由上可知，，所以，D错误，
故选：BCD
12．设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.
【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D不正确.
故选：AB
三、填空题
13．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由分式不等式的解法求解即可.
【详解】由可得：，
解得：.
故答案为：
14．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】由根式在分母上被开方数大于零，且零指数幂的底数不为零可求得结果.
【详解】由题意得，解得，且，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
15．若，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】分析：由对数运算和换底公式，求得 的关系为，根据基本不等式确定
详解：因为，
所以
，所以 ，即
所以
当且仅当，即，此时时取等号
所以最小值为
点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．
16．设，函数若与恰有三个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分段讨论与的交点分布，进而列式求解.
【详解】根据题意：，
当时，,其图像为右端点取不到的单调递增的射线，此时令，解得,可知与至多有一个交点;
当时，开口向下，对称轴为轴，与轴的交点为；结合图像，可知与有且只有一个交点;
当时，结合图像：令解得（舍去）或
可知与至多只有一个交点;
要使得与恰有三个公共点，
则只需满足，解得.
故答案为: .
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分数指数幂运算法则分别化简求值即可.
（2）根据对数运算法则分别化简求值即可.
【详解】（1）
（2）
.
18．已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）代入后分别求出，再求出，最后求出即可；
（2）先得到，在分别求出，最后得到参数的取值范围.
【详解】（1），
所以，
将代入不等式得，解得，
所以，所以或，
所以；
（2）因为，所以，由（1）知，
又，
所以，
又因为，所以，解得
19．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题．
(1)求实数的取值范围；
(2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在.
【分析】（1）先因式分解求出两根，再分别大于1求出参数取值范围即可；
（2）先得到，再考虑是否为空集的情况即可.
【详解】（1）因为命题为真命题，
而
，所以且，解得
（2）令，，
因为是的必要不充分条件，所以，
若，此时；
若，则，解得，
综上所述，存在使得是的必要不充分条件
20．函数是定义在上的奇函数，且
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)在区间上为增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解；
（2）由函数的单调性的定义证明；
（3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解.
【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由，则有，解可得；
则，此时，满足是奇函数，
所以.
（2）由（1）的结论，，在区间上为增函数；
证明：设，
则
又由，
则，，，，
则，即
则函数在上为增函数.
（3）由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.
，
解可得：，
即不等式的解集为.
21．设函数．
(1)若对于恒成立，求的取值范围；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先转化为对于恒成立，再求的最小值,即得m的取值范围.
（2）题设条件可以转化为对于恒成立,将分别代入不等式,即可求出的范围.
【详解】（1）由题意得，在恒成立，
即在恒成立，
∵对一切实数恒成立，
∴在恒成立，
∵函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴在上的最小值为，∴.
故的取值范围为.
（2）对于恒成立,
对于恒成立,
,
解得,
故的取值范围为.
22．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在内的“和谐区间”；
(2)若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素．若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据的单调性，得到，从而得到，是方程的两个不相等的正根，解得即可；
（2）首先求出在上的解析式，从而得到在内的“和谐区间”，即可得到解析式，从而得到应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.
【详解】（1）设，在上单调递减，
，即，是方程的两个不相等的正根，
，，在内的“和谐区间”为.
（2）为上的奇函数，，
又当时，，
当时，；
；
设为的一个“和谐区间”，则，，同号.
当时，同理可求在内的“和谐区间”为.
，
依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根.
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上所述，实数的取值集合为.
【点睛】关键点睛：对于新定义问题，解答的关键是理解定义，将其转化为方程的解与函数的交点问题.
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，
则.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，；
故选：C
3．已知不等式的解集为，则的取值分别为（ ）
A．3，B．2，1C．，3D．1，2
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系即可解题.
【详解】由不等式的解集为，
则1和为方程的两根，且，
所以，解得.
故选：D
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，则或，解得或，
所以由推得出，即充分性成立，
由推不出，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．已知函数，且，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】令可判断为奇函数，则，再根据奇函数的性质计算可得.
【详解】令，，则，
所以为奇函数，
则，又，所以，即，
所以，
所以.
故选：D
6．设定义在上的奇函数满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，从而得到的取值情况，即可得解.
【详解】因为满足对任意，且，都有，
所以在上单调递减，
又为上的奇函数，所以在上单调递减，且，
又，所以，
所以当时，当时，当时，当时，
所以不等式的解集为.
故选：B
7．设，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，，，
恒成立，等价于恒成立，
因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4.
故选：B
8．设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（ ）
A．函数为偶函数B．若时，有
C．若时，D．若时，
【答案】D
【分析】先根据定义作的图像，然后依据图像逐个检验即可．
【详解】在同一坐标系中画出的图像（如图所示），
故的图像为图所示．
的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．
由图可知时，有，故B成立．
从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．
取，则，，，故D不成立．
综上，选D．
【点睛】一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．
二、多选题
9．设，，，为实数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质判断，利用特殊值判断BC，利用作差法，结合不等式的性质判断D.
【详解】由可得，，A正确；
时，，B不正确；
时，，C不正确；
因为，所以，所以 所以 ，D正确；
故选：AD.
10．函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】由奇函数的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，
所以，令可得：，故A正确；
对于B，若在上有最小值，则在上有最大值1，故B正确；
对于C，若在上为增函数，则在上为增函数，故C错误；
对于D，若时，，
则时，，，
因为是奇函数，所以，所以,故D正确.
故选：ABD.
11．设都是正数，且，下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】连等式一般可以先设为，分别求值后再逐个验证判断即可.
【详解】令，则，
所以，
对于A：两边同除等价于，
由上可知，，所以，A正确；
对于B：两边同除等价于，
由上可知，，所以，B错误；
对于C：两边同除等价于，
由上可知，，所以，C错误；
对于D：两边同除等价于，
由上可知，，所以，D错误，
故选：BCD
12．设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.
【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D不正确.
故选：AB
三、填空题
13．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由分式不等式的解法求解即可.
【详解】由可得：，
解得：.
故答案为：
14．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】由根式在分母上被开方数大于零，且零指数幂的底数不为零可求得结果.
【详解】由题意得，解得，且，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
15．若，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】分析：由对数运算和换底公式，求得 的关系为，根据基本不等式确定
详解：因为，
所以
，所以 ，即
所以
当且仅当，即，此时时取等号
所以最小值为
点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．
16．设，函数若与恰有三个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分段讨论与的交点分布，进而列式求解.
【详解】根据题意：，
当时，,其图像为右端点取不到的单调递增的射线，此时令，解得,可知与至多有一个交点;
当时，开口向下，对称轴为轴，与轴的交点为；结合图像，可知与有且只有一个交点;
当时，结合图像：令解得（舍去）或
可知与至多只有一个交点;
要使得与恰有三个公共点，
则只需满足，解得.
故答案为: .
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分数指数幂运算法则分别化简求值即可.
（2）根据对数运算法则分别化简求值即可.
【详解】（1）
（2）
.
18．已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）代入后分别求出，再求出，最后求出即可；
（2）先得到，在分别求出，最后得到参数的取值范围.
【详解】（1），
所以，
将代入不等式得，解得，
所以，所以或，
所以；
（2）因为，所以，由（1）知，
又，
所以，
又因为，所以，解得
19．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题．
(1)求实数的取值范围；
(2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在.
【分析】（1）先因式分解求出两根，再分别大于1求出参数取值范围即可；
（2）先得到，再考虑是否为空集的情况即可.
【详解】（1）因为命题为真命题，
而
，所以且，解得
（2）令，，
因为是的必要不充分条件，所以，
若，此时；
若，则，解得，
综上所述，存在使得是的必要不充分条件
20．函数是定义在上的奇函数，且
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)在区间上为增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解；
（2）由函数的单调性的定义证明；
（3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解.
【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由，则有，解可得；
则，此时，满足是奇函数，
所以.
（2）由（1）的结论，，在区间上为增函数；
证明：设，
则
又由，
则，，，，
则，即
则函数在上为增函数.
（3）由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.
，
解可得：，
即不等式的解集为.
21．设函数．
(1)若对于恒成立，求的取值范围；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先转化为对于恒成立，再求的最小值,即得m的取值范围.
（2）题设条件可以转化为对于恒成立,将分别代入不等式,即可求出的范围.
【详解】（1）由题意得，在恒成立，
即在恒成立，
∵对一切实数恒成立，
∴在恒成立，
∵函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴在上的最小值为，∴.
故的取值范围为.
（2）对于恒成立,
对于恒成立,
,
解得,
故的取值范围为.
22．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在内的“和谐区间”；
(2)若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素．若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据的单调性，得到，从而得到，是方程的两个不相等的正根，解得即可；
（2）首先求出在上的解析式，从而得到在内的“和谐区间”，即可得到解析式，从而得到应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.
【详解】（1）设，在上单调递减，
，即，是方程的两个不相等的正根，
，，在内的“和谐区间”为.
（2）为上的奇函数，，
又当时，，
当时，；
；
设为的一个“和谐区间”，则，，同号.
当时，同理可求在内的“和谐区间”为.
，
依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根.
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上所述，实数的取值集合为.
【点睛】关键点睛：对于新定义问题，解答的关键是理解定义，将其转化为方程的解与函数的交点问题.
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