2023-2024学年北京市顺义牛栏山第一中学高一创新班上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市顺义牛栏山第一中学高一创新班上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式二将化简为，计算即可.
【详解】由诱导公式二，得
.
故选：D.
2．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算得到，即可求出结果.
【详解】因为向量，，，所以，得到，
所以，得到，
故选：A.
3．已知函数的图象的一部分如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据图象，得到，进而可求出，再根据图象，当时，函数取到最大值，得到，即可求出结果.
【详解】由图易知，，，得到，
又，，所以，
又由图知，，得到，
又，令，得到，所以，
故选：B.
4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为已知三角形的三边长，所以利用余弦定理可求出角的值
【详解】因为，，，
所以由余弦定理得，，
因为，所以，
故选：C
5．如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果.
【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，
如图，，
故选：A.
6．已知平面向量，满足 ，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量垂直得数量积，再由向量的数量积的定义求得夹角．
【详解】∵，∴，∴，
∴，
，∴．
故选：C．
【点睛】本题考查求向量的夹角，考查平面向量数量积的定义，解题关键是掌握向量垂直与数量积的关系．
7．已知函数.给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
【答案】A
【分析】根据正弦函数的性质判断．
【详解】最小正周期是，①正确；
，，②错；
把函数的图象上所有点向左平移个单位长度得函数解析式为，③错，
故选：A．
8．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ）
A．钝角三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.
【详解】在中，由正弦定理得，而，
∴ ，即，
又∵、为的内角，∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，∴，
∴为等边三角形.
故选：B.
9．若中，，若该三角形有两个解，则范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，过作于点，从而可求出，由该三角形有两个解，可知以为圆心，为半径画圆，与所在直线有两个交点，从而可求出的取值范围.
【详解】解：如图，过作于点，
，
，
若该三角形有两个解，则以为圆心，为半径画圆，与所在直线有两个交点，
则的取值范围是：，即，
所以的取值范围是.
故选：D.
10．如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题得为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可.
【详解】因为，，，
由余弦定理得，，
得到，又，所以为直角三角形，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，又分别为中点，
所以，故，
所以，
故选：D.
二、填空题
11．已知向量，，则向量的模为 .
【答案】5
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算，得到，再根据模长的定义即可求出结果.
【详解】因为，，又，
所以，，
故答案为：.
12．若角α的终边落在直线y＝－x上，则的值等于 .
【答案】0
【解析】先求出α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z，再分类讨论得解.
【详解】因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z，
当α＝2kπ＋，,即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，csα＜0；
所以
当α＝2kπ＋，,即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，csα＞0.
所以
综合得的值等于0.
故答案为：0
13．已知，则 .
【答案】
【分析】通过构角，从而得到，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，
故答案为：.
14．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
【答案】/-0.75
【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值.
【详解】由题菱形边长为2，
则，，所以，
又因为，
所以，
所以，
令，
则，
所以，
则当时，取最小值为.
故答案为：
15．在中，内角所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点.
（1）边上的中线长为
（2）与面积之比为
（3）到的距离为
（4）内切圆的面积为
上述四个结论，其中所有正确的序号为 .
【答案】（2）（3）（4）
【分析】对于（1），利用余弦定理求得，在中，再利用余弦定理即可求出结果；
对于（2），根据条件和，再利用三角形面积公式即可求出结果；
对于（3），利用重心的性质，求出，再在中，利用余弦定理得，进而得到，即可求出结果；
对于（4），利用等面积法求出内切圆的半径即可求出结果；
【详解】对于（1），如图，在中，，
在中，，所以，
得到，所以（1）错误；
对于（2），因为，又，
所以，又，得到，所以（2）正确；
对于（3），因为三条中线相交于点为，由（1）知，所以，
又在中，，
所以，故到的距离为，所以（3）正确；
对于（4），设内切圆的半径为，又因为，
所以，
又，所以，得到，
所以，内切圆的面积为，所以（4）正确，
故答案为：（2）（3）（4）.
三、解答题
16．已知角是第三象限角，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系和商数关系列方程组求解；
（2）用诱导公式化简后，再把齐次式化为关于的式子，代入已知计算．
【详解】（1）由题意，又在第三象限，，故解得；
（2）
．
17．在平面直角坐标系xOy中，点.
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数满足，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模；
（2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可.
【详解】（1）由已知，设以线段AB、AC为邻边的平行四边形为，
所以，，
对角线，因此；
另一条对角线，
因此；
（2）因为，所以，，
由，即，
解得．
18．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的对称轴及单调递减区间；
(3)若，的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)对称轴为，单调递减区间为
(3)
【分析】（1）利用降幂升角及辅助角公式，得到，即可得出结果；
（2）根据（1）中结果，再利用的图像与性质即可求出结果；
（3）先求出的值，再结合图像与条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由（1）知，由，得到，
由，，
所以，的对称轴为，单调递减区间为.
（3）因为，由，得到，即，令，得到，
如图，由对称性，轴右侧函数图像与轴第一个交点为，
又当时，的值域为，所以.
19．在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理边角互化和三角函数恒等变换的应用，化简等式可得，利用特殊角的三角函数值即可得解；
（2）根据余弦定理和基本不等式可解得，代入三角形面积公式即可得解．
【详解】解：（1）．
，
，
，
，
．
（2），
，
，当时取得等号，
面积的最大值.
【点睛】本题考查正弦定理边角互化和三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，余弦定理和基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．中，角的对边分别为，且.
（I）求的值；
（II）求的值.
【答案】（1）；（2）5
【详解】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理及二倍角的正弦即可求得csA的值；
（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．
试题解析：
( 1）由正弦定理可得，即：，∴，∴.
（2由（1），且，∴，
∴，
∴==.
由正弦定理可得：，∴．
21．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；
选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.
【详解】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.