2023-2024学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求得，从而求得正确答案.
【详解】，，所以.
故选：B
2．设命题：，使得，则为（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
【答案】A
【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答.
【详解】命题：，使得，
则其否定为：，都有.
故选：A
3．如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图像判断单调性，解题时需注意单调区间不能用.
【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和，
故选：C.
4．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】根据相等函数的概念求解.
【详解】对A，函数的定义域为，的定义域为，A错误；
对B，函数的定义域为，的定义域为，B错误；
对C，函数与对应关系不一致，C错误；
对D，与函数定义域，对应关系完全相同，D正确；
故选:D.
5．若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据特殊值以及不等式的性质确定正确答案.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，取，，∴，，∴，故B错误；
对于C，∵，∴，故C正确；
对于D，取，，则，故D错误.
故选：C
6．已知函数则（ ）
A．5B．0C．-3D．-4
【答案】B
【分析】代入求解即可.
【详解】.
故选：B.
7．若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，且，
所以．
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以m的取值范围是．
故选：D．
8．设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】B
【分析】设，利用单调性求出的最值，再根据绝对值的意义确定，利用一次函数求解的最小值即可.
【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以是三者中的较大者，如图：

表示的函数图象为图中粗线部分，且，
所以当时，的最小值为.
故选：B.
二、多选题
9．下列能够表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的概念判断各选项即可.
【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故A正确；
对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确；
对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误；
对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确.
故选：ABD.
10．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可.
【详解】对于，因为，
则，解得，即：，
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
则，结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
11．若正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于A，因为正实数a，b，，
所以，当且仅当时取等号，所以A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，所以B错误；
对于C，，所以，
当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，，
所以，当且仅当时取等号，所以D正确；
故选：AD
12．在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项
【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，
所以的图象关于原点对称，
则，
所以，故错误,正确；
所以对任意，都有，故正确；
在中令得
，且，
所以，故正确.
故选:BCD.
三、填空题
13．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据解析式建立不等式求解即可.
【详解】由，即，解得，
即函数的定义域是.
故答案为：
14．深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有名同学，其中名同学参加了数学活动，名同学参加了物理活动，名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 ．
【答案】
【分析】以集合、分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，表示这个班所有的同学构成的集合，利用韦恩图法可求得结果.
【详解】以集合、分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，表示这个班所有的同学构成的集合，
如下图所示：
由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为.
故答案为：.
15．已知，若，则 ．
【答案】或
【分析】利用换元法求出函数解析式，代入解方程可得或.
【详解】令，则可得,
由可得，所以，
解得或.
故答案为：或
16．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数为奇函数，则为偶函数，又已知得函数在上单调递减，可得函数在在上单调递增，又，可得不等式与的解集，进而得到解集.
【详解】令，则为偶函数，且，
当时，为减函数，
所以当或时，；
当或时，；
因此当时，；当时，，
即不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题
17．已知全集，集合，，.
(1)求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）∵集合，，∴.
或，或，
∴或.
（2），
当时，即时，，此时，满足题意；
当时，即时，，
若，则或，
即或，∴.
综上，实数的取值范围为.
18．已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）由函数在区间上取到函数的最小值，得对称轴与区间的关系，建不等式求解即可.
【详解】（1）由二次函数的图象关于直线对称，
可设，，
则解得
∴的解析式为．
（2）由题知，的对称轴为，且．
∵在区间上的最小值为，
∴，又，解得，
即实数m的取值范围为．
19．已知.
(1)当时，若同时成立，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可；
（2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求.
【详解】（1）当时，，即，
，即，
若同时成立，则，
即实数的取值范围为.
（2）由（1）知，，
，
即，
①当时，，
若是的充分不必要条件，则，解得；
②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
20．紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额（单位：万元）.
(1)求总利润（单位：万元）关于产量（单位：千件）的函数关系式；（总利润总销售额成本）
(2)当产量为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值.
【答案】(1)
(2)当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元
【分析】（1）根据题意，由总利润总销售额成本即可得到函数关系式；
（2）根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
当时，，
（2）当时，（万元）.
当时，（万元），当且仅当时等号成立，
又为整数，所以此时（万元）.
综上，当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元.
21．已知函数为偶函数.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义分析可得，在利用函数单调性的定义分析证明；
（2）根据题意可得的单调性，结合偶函数的性质可得对恒成立，根据恒成立问题分析求解.
【详解】（1）因为函数的定义域为，
若为偶函数，则，
即，整理得，
对于任意的均成立，可得，即，
所以，
任取，令，
则有，
因为，则，，，
可得，即，
所以函数在上单调递增.
（2）因为函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，
则函数在上单调递减，
又因为不等式对任意的恒成立，
则对恒成立，
可得或，
则或对恒成立，
所以或，
即实数的取值范围为.
22．已知函数，．
(1)若是关于的方程的一个实数根，求函数的值域；
(2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入方程即可求得，利用二次函数性质即可得值域为；
（2）根据题意只需满足即可，对参数进行分类讨论即可求得实数的取值范围是.
【详解】（1）由是关于的方程的一个实数根，可得,
即，解得；
所以，由二次函数性质可得；
即可得函数的值域为；
（2）根据题意可知，需满足；
当时，由二次函数性质可知；
当时，若时，；
可得，解得，所以；
当时，，
可得，解得或，所以；
当时，，
可得，解得，所以；
综上可得实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：对于求解双变量不等式恒（能）成立问题时，关键在于将不等式转化为求解函数最大值或最小值的问题，再通过解不等式即可求出实数的取值范围．