2023-2024学年河北省保定市第三中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省保定市第三中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据补集的概念即可求出．
【详解】因为，，所以．
故选：B．
2．已知、、，则“”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】当时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.
【详解】若，当时，，故不充分；
若，则，故，必要性.
故“”是“”的必要非充分条件.
故选：B
3．已知，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得最大值.
【详解】，当且仅当时等号成立.
故选：B
4．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据幂函数的定义,形如的函数时幂函数,幂函数过定点.偶函数定义域关于原点对称,且.
【详解】解:幂函数的图象都经过点，排除A；
与不是偶函数，排除B，D.
故选:C
5．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据命题为真命题,可知,解不等式即可.
【详解】解:命题是真命题，
则，即,解得 ．
故选:B
【点睛】本题考查已知全称命题的真假求参数,是基础题.
6．已知函数满足，则解析式是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，
.
故选：B.
7．已知函数，若函数f(x)在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，，解不等式组即得解.
【详解】对于任意给定的不等实数，，在为增函数.
令，.
要使函数在上为增函数，
则有在区间上为增函数，
在区间上为增函数且，
∴，解得.
故选：D
【点睛】结论点睛：一个两段的分段函数是增函数，要满足两个条件，一是两个函数都是增函数，二是左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值.
8．若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用定义运算得到二次不等式恒成立问题，利用判别式来解答即可.
【详解】由已知得，
则对任意实数恒成立
整理得对任意实数恒成立，
，
解得.
故选：C.
二、多选题
9．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AD
【分析】根据同一函数的定义判断四个选项即可.
【详解】对于A，两函数的定义域均为，对应关系也相同，所以两个函数是同一个函数，故A正确；
对于B，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误；
对于C，的定义域为，的定义域为且，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；
对于D，两函数的定义域均为，且，所以两函数对应关系也相同，所以两个函数是同一个函数，故D正确，
故选：AD.
10．下列选项中正确的是（ ）
A．不等式恒成立B．存在实数，使得不等式成立
C．若为正实数，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】由基本不等式的成立条件可判断A选项；取可判断B选项；应用基本不等式可以判断C，D选项；
【详解】对于A，不等式成立条件为，显然时不等式不成立，故A错误；
对于B，当时， 成立，故B正确；
对于C，当为正实数，应用基本不等式可得，，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，当，，应用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：BCD.
11．下列命题中是真命题的是（ ）
A．若 ，且，则，中至少有一个大于
B．的充要条件是
C．，
D．，
【答案】AC
【分析】对于A选项，假设，中没有一个大于得，与矛盾可判断；对于B选项，当时，必要性不成立，故错误；对于C选项，取判断；对于D选项，取时可判断.
【详解】解：对于A选项，假设，中没有一个大于，即，，则，与矛盾，故命题正确；
对于B选项，显然充分性不成立；当时，，此时，必要性不成立，故错误；
对于C选项，当时，成立，故正确；
对于D选项，时，，故错误.
故选：AC
12．对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．在上单调递减
【答案】AB
【分析】由题有：，.即图像关于对称，且关于直线对称.A选项，令可得 ，可得；B选项，令即可判断选项；C选项，令结合单调性可判断选项；D选项，由图像的对称性可判断在上的单调性.
【详解】令，由是奇函数，
则，
即，图像关于对称.
令，由是偶函数，
则，
即，图像关于直线对称.
A选项，令，可得，
又令，可得.故A正确；
B选项，令，可得，故B正确；
C选项，令，可得，
又因在上单调递减，由图像关于对称，则在上单调递减，
即在上单调递减，故.故C错误.
D选项，由在上单调递减，结合图像关于直线对称，
则在上单调递增.故D错误.
故选：AB
【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论.
为定义在R上函数，若为奇函数，则，
图像关于对称；若为偶函数，则，
图像关于对称.
三、填空题
13．已知集合,则的值为 ．
【答案】0或3
【分析】由集合，得或，由此能求出的值．
【详解】解：∵集合，
∴或，
解得或或，
当时，，成立；
当时，，成立；
当时，，不成立．
综上，的值为0或3．
故答案为：0或3
【点睛】本题考查实数值的求法，考查子集等基础知识，注意集合元素的互异性，是基础题．
14．若，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】运用基本不等式可得答案.
【详解】因为， 所以，
因为，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
15．函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质可求其值域.
【详解】解：，
故在上为增函数，在上为减函数，
所以，而，故，
故函数的值域为.
故答案为：.
16．已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案．
【详解】由题意，函数．．
根据二次函数的性质，可得当时, ,记．
由题意当时,在上是增函数,
∴,记．
由对任意,总存在,使成立，所以
则，解得：
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象和性质的应用，以及存在性问题求解和集合包含关系的综合应用，其中解答中把对任意的,总存在,使成立,转化为两个函数值域的包含关系是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题．
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合.
（1）集合;
（2）若集合,求并写出它的所有子集.
【答案】（1）（2），，，，.
【分析】（1）因为,函数定义域应满足:,即可求得答案;
（2）化简,根据交集定义,即可求得答案;
【详解】（1）
函数定义域应满足:,
解得:
函数的定义域.
（2）化简
又由（1）得
,
的子集为:,,,.
【点睛】本题主要考查了求函数定义域和求集合的子集,解题关键是掌握常见函数定义域的求法和子集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
18．解答下列问题：
(1)设正数满足，求的最小值；
(2)已知，比较与的大小
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
（2）作差法比较与的大小关系.
【详解】（1）因为正数满足，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
（2）由题意，
，
因为，所以，
所以当时，；
当时，．
19．已知是定义在R上的偶函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用偶函数的定义以及已知的解析式，求解即可；
（2）利用偶函数的定义将不等式变形，然后利用单调性求解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
，
所以；
（2）当时，，
因此当时，该函数单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，且当时，该函数单调递增，
所以由等价于，
所以，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
20．设函数，且．
(1)求解析式；
(2)判断在区间上的单调性，并利用定义证明．
【答案】(1)
(2)在上递增，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得解析式.
（2）判断出的单调性，并根据函数单调性的定义进行证明.
【详解】（1）依题意.
所以.
（2）在上递增，证明如下：
任取，
，
其中，所以，
即，所以在上递增.
21．已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据幂函数的概念和性质即可求的解析式；
（2）化简函数，根据在区间上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可求实数a的取值范围.
【详解】（1）由f(x)为幂函数知，2m2-6m+5=1，即m2-3m+2=0，得m=1或m=2，
当m=1时，f(x)=x2，是偶函数，符合题意；
当m=2时，f(x)=，为奇函数，不合题意，舍去.
故f(x)=；
（2）由（1）得，
函数的对称轴为x=a-1，
由题意知函数在(2,3)上为单调函数，
∴a-1≤2或a-1≥3，分别解得a≤3或a≥4.
即实数a的取值范围为：a≤3或a≥4.
【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质，属中档题.
22．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成木为100万元，每生产x千件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元），每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】（1）；（2）40千件，700万元.
【解析】（1）根据条件可知年利润=收入-成本，分段求函数的解析式；（2）根据（1）的解析式，分段求函数的最大值，比较两段的最大值，最后再比较求函数的最大值.
【详解】（1）∵每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，
当0＜x＜80时，=，
当x≥80时，=
∴
（2）当0＜x＜80时，.
当x＝40时，即；
当x≥80时，
令，
当，即，即时，等号成立，
t=100时，
，
，
∴当年产量为40千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为700万元.
【点睛】易错点睛：本题考查函数的应用，关键是理解题意，能正确转化为分段函数，并能利用函数关系求最值，计算收入时，不要忽略函数的定义域，收入=