2023-2024学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D
2．命题“”的否定是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定求解
【详解】原命题的否定为，
故选：D．
3．已知x>y，则下列各式中一定成立
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据特值排除法以及指数函数的单调性逐个分析可得.
【详解】对于,取可知中的不等式不成立;
对于,取可知中的不等式不成立;
对于,由指数函数为递减函数,且,可得一定成立;
对于,取可知中的不等式不成立.
故选.
【点睛】本题考查了指数函数的单调性以及特值排除法.属于基础题.
4．已知幂函数的图象经过点(2，4)，则f(-2)＝（ ）
A．-9B．9C．4D．-4
【答案】C
【分析】设出幂函数的解析式，由给定条件求出解析式再计算即得.
【详解】依题意，设幂函数，于是得，解得，则有，
所以.
故选：C
5．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值B．有最大值4
C．有最大值2D．有最小值
【答案】A
【解析】A.根据正实数满足，由判断.B..由判断.C.由，判断.D.由判断.
【详解】因为正实数满足
所以，当且仅当，，即取等号，故A正确.
，当且仅当，，即取等号，故B错误.
，当且仅当，，即取等号，故C错误.
，当且仅当，，即取等号，故D错误.
故选:A
【点睛】本题主要考查基本不等式的变形以及应用，变形灵活，特别注意使用条件，属于中档题.
6．若不等式和不等式的解集相同，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解出，得到-2和是的两个根，利用根与系数的关系即可求出ab，可以求出a+b.
【详解】由解得：，
所以-2和是的两个根，
所以，解得：a=-4，b=-9.
所以.
故选：B.
7．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，利用指数式与对数式的互化关系，结合对数运算即得.
【详解】令，则，
所以，即的估算值为.
故选：C
8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据此想法，我们可以求函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，化简后，利用奇函数的定义求得的值，即得答案.
【详解】令
由为奇函数，得，则，解得，
所以函数图象的对称中心为.
故选：A
二、多选题
9．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据函数的三要素：定义域、表达式以及值域逐项判断即可.
【详解】解：函数的定义域为，
对A，，定义域为，即与函数是同一函数，故A符合题意；
对B，，定义域为，所以与函数不是同一函数，故B不符合题意；
对C，，定义域为，所以与函数不是同一函数，故C不符合题意；
对D，当，，当，，即，，所以与函数是同一函数，故D符合题意.
故选：AD.
10．若函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（ ）
A．m＝1B．m＝2C．fmin（x）＝2D．fmax（x）＝6
【答案】BCD
【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12），分析可得m的值，结合二次函数的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，
则有f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）
必有m﹣2＝0，即m＝2，
则f（x）＝x2+2，为开口向上的二次函数，对称轴为
当﹣1≤x≤2时，其最小值为f（0）＝2，最大值f（2）＝6，
故选：BCD
11．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.
【详解】由于当时，，排除B，C，
当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.
故选：AD.
12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（ ）
A．
B．任取一个不为零的有理数T，对任意的恒成立
C．，不恒成立
D．不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
【答案】BCD
【分析】根据所给函数的定义，逐一进行验证判断即可.
【详解】对于A：
因为，且，
所以.
故选A错误；
对于B：
任取一个不为零的有理数T，
若，，，，
即成立；
若，，，，
即成立；
所以任取一个不为零的有理数T，对任意的恒成立.
故选项B成立；
对于C：
取，，则，
则，，
即不恒成立，
即选项C正确；
对于D：
假设存在三个点，，，
使得为等腰直角三角形（不妨设，且），
有以下3种情况：
①直角顶点在直线上，斜边在轴上（如图1），
即，，，
则由得，又因为为等腰直角三角形，
所以，，，
与相矛盾，即假设不成立；
（图1）
②直角顶点在轴上，斜边在直线上（如图2），
即，，，
则由得，又因为为等腰直角三角形，
所以，，，
与相矛盾，即假设不成立；
（图2）
③若轴（如图3或图4），
则，则或，
与“、一个为0，一个为1”相矛盾；
（图3） （图4）
综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，即选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围.
【详解】由已知可得，所以，.
故答案为：.
14．若，，则下图中阴影表示的集合为 .
【答案】
【分析】根据韦恩图表示的是，再利用交集的定义计算即可.
【详解】解：韦恩图表示的是，由，，则.
故答案为：
【点睛】本题考查交集的运算，韦恩图的应用，属于基础题.
15．已知二次函数的部分对应值如表：
则使成立的的取值范围是 .
【答案】
【分析】由表格可得的两根，根据表格结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由表格可得的两根分别为和，
当时，，
所以使成立的的取值范围是，
故答案为：.
四、双空题
16．如图所示，定义域和值域均为的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美.则函数在上最大值是 ，进一步，方程的解的个数为 .
【答案】 3 4
【分析】利用给定的函数图象求出最大值；利用换元法，利用数形结合法进行求解即可.
【详解】观察图象知，函数在上最大值是；
令，由得，或，
若，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根，
若，根据函数图象，可知该方程有一个实根，
所以方程的解的个数为.
故答案为：3；
五、解答题
17．已知函数．
(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
(2)写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．
【答案】(1)图象见解析
(2)定义域为R，增区间为，减区间为、和，值域为
【分析】(1)结合的解析式作图即可；(2)结合解析式和(1)中图像即可求解.
【详解】（1）图象如图所示：
（2）由的解析式可知，定义域为R，
由(1)中图像可知，增区间为，减区间为、和，值域为．
18．已知集合，．
(1)当时， 求与；
(2)若_______，求实数a的取值范围．
请从①；②，； ③“”是“”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1),
(2)①,②,③
【分析】(1)利用集合的交并运算即可;(2)根据不同的条件得到两个集合之间的包含关系或者交集关系即可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时, ,
则,.
（2）（i）选择条件①，
由，则有 ,
若，则不满足题意；
若，则，因为，所以，解得，
若，则，因为 不满足，
综上所述，.
（ii）选择条件②，,
由，,则有 ,
若，则满足题意；
若，则，因为，所以，解得，
若，则，因为 满足，
综上所述，.
（iii）选择条件③“”是“”的必要条件,
由“”是“”的必要条件, 则有 ,
若，则不满足题意；
若，则，因为，所以，解得，
若，则，因为 不满足，
综上所述，.
19．已知在上有意义，单调递增且满足，.
(1)求的值；
(2)求不等式的的解集.
【答案】(1)0；
(2).
【分析】（1）令，得，即可求得.
（2）令，得，利用函数的单调性及定义域列出不等式组求解即得．
【详解】（1）由，取，得，解得，
所以.
（2）由，得，
则不等式化为，而函数在上单调递增，
于是，解得，
所以不等式的的解集为.
20．已知函数.
(1)求；
(2)判断是否为定值，并求出的值.
【答案】(1)3；
(2)6067.5.
【分析】（1）根据给定的函数，代入计算即得.
（2）先求出是定值3，再借助此定值及规律，利用加法运算律求值即得.
【详解】（1）函数，则，，
所以.
（2）依题意，，
所以是定值3，
.
21．如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.
(1)求的值；
(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；
(3)求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.
【答案】(1)1
(2)
(3)最大值为分米，此时.
【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据可得出；
（2）利用基本不等式求出的最小值即可；
（3）利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，
则，所以，则，
整理可得；
（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，
因为，则，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，剩下木板的面积最大；
（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时.
22．已知函数为定义在上的奇函数.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）判断在定义域上的单调性，并用函数单调性定义给予证明；
（Ⅲ）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为上的减函数，理由详见解析；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）因为函数为上的奇函数，所以，即可解得得到函数的解析式；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义，即可判定函数为的递减函数；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当时，，列出不等式，即求解实数的取值范围．
【详解】（Ⅰ）因为函数为上的奇函数，
所以解得：.
所以.
（Ⅱ）为上的减函数
证明：设，且，
则：
由可知，，
所以，即：
故函数为上的减函数.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当时，
即：
所以解得：
故实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的定义、函数的奇函数性和函数单调性的应用问题，对于函数的单调性的判定中，常见的判定方法：1、平时学习过的基本初等函数的单调性；2、函数图象判断函数的单调性；3、.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4、导数判断函数的单调性．
x
0
1
2
3
4
5
….

6
8
6
….