2023-2024学年山东省淄博第七中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省淄博第七中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合与元素的关系，即可作出判断.
【详解】对于A，集合A为数集，集合B为点集，显然二者不等；
对于B，，显然；
对于C，当时，，所以；
对于D，当时，，所以.
故选：C
2．已知命题：，，那么命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，故命题的否定是，.
故选：D
3．下列各组中的两个函数为相等函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】逐项分析定义域及对应关系即得.
【详解】A中，的定义域是，的定义域为，它们的定义域不相同，不是相等函数；
B中，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相等函数；
C中，与的对应关系不同，不是相等函数；
D中，与定义域与对应关系都相同，因此它们是相等函数．
故选：D.
4．已知函数，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】由题可得，
所以.
故选：D.
5．已知对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解.
【详解】由题意可得对一切恒成立，所以，解得，
故选：D
6．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【解析】代入特殊值再结合不等式的基本性质即可选出正确答案.
【详解】解：当时，，则A不正确；由知，，所以，B正确；
若，则，则C不正确；若，则，
故选:B.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.
7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.
【详解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故选：D
8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造，由题意可得为偶函数且在上递增，在上递减，再由等价于或，即可求解集.
【详解】由题设，在上递减，又上有，
所以，即为偶函数，
根据偶函数的对称性知：在上递增，
由，即，则上，上，
由，则或，可得.
故选：C
二、多选题
9．下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】AC选项，不满足偶函数；BD满足偶函数，且根据解析式得到函数在. 单调递增.
【详解】A选项，，故不是偶函数，A错误；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，且在单调递增，满足要求，B正确；
C选项，定义域为R，且，故为奇函数，不合要求，C错误；
D选项，定义域为R，且，故为偶函数，且当时，单调递增，满足要求，D正确.
故选：BD
10．已知集合，，若，则（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】ABC
【解析】先求出集合，根据可得，即可讨论求出的值.
【详解】可知，
，，
当时，无解，，满足题意；
当时，，又，可得或，解得或；
综上，的可能值为.
故选：ABC.
【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
11．已知函数的定义域为R，对任意的实数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数C．为偶函数D．为R上的增函数
【答案】ABD
【分析】求得的值判断选项A，利用函数奇偶性定义判断选项BC；利用函数单调性定义判断选项D.
【详解】，
可令，则，
得，故A选项正确；
令，则，得．
故B选项正确；C选项错误；
设任意实数且，令，
则，
，又∵当时，
，即，
为R上的增函数，故D选项正确．
故选：ABD
12．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分和三种情况讨论，结合对勾函数的单调性确定复合函数单调性判断即可.
【详解】当时，，则选项C符合；
当，故排除D；
当时，的定义域为，
当时，当且仅当时取等号，
由于在为减函数，为增函数，
则函数在上为增函数，在为减函数，
是奇函数，
则奇偶性可得在上的单调性，故选项B符合；
当时，的定义域为，
当，，由于在，为增函数，
则在，为减函数，
是奇函数，
则由奇偶性可得在上的单调性，故A符合.
故选：ABC.
三、填空题
13．函数的定义域是
【答案】
【分析】依题意可知，根号下的式子为非负且分母不为0，解不等式即可求得结果.
【详解】根据题意可知需满足，解得且；
所以函数定义域为.
故答案为：
14．已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为
【答案】2
【分析】解方程，再检验得解.
【详解】解：依题意，，得或，
当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去.
当时，，幂函数在上是减函数．所以.
故答案为：
15．函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】确定函数单调递减，再根据分段函数的单调性得到不等式，解出答案.
【详解】根据题意函数在上单调递减，故满足，解得.
故答案为：
16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，，，．
(1)求，．
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）直接计算交集并集得到答案.
（2）确定得到，解得答案.
【详解】（1），，则，.
（2），故，故，解得，即
18．（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
【答案】（1），（2）
【分析】（1）用换元法即可求得解析式；
（2）用待定系数法即可求得解析式.
【详解】（1）设，，
，
，，
，.
（2）是二次函数，
设，
由，得，
由，
得，
整理得，
，，
，，
.
19．已知集合，集合，命题，命题.
(1)当实数a为何值时，p是q的充要条件；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解分式不等式求出集合，根据p是q的充要条件，可得，即可得解；
（2）由p是q的充分不必要条件，可得A是B的真子集，再分和两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】（1）解：，即，
有，解得，
故，
因为p是q的充要条件，所以，
故的解集也为，
所以，解得；
（2）解：因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
①时，此时，即或，符合题意，
②时，当或时，，即，
此时（不同时取等号），解得，
当时，，即，
此时（不同时取等号），解得，
综上所述a的取值范围.
20．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.
(1)当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?
【答案】(1)不获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损
(2)当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论.
【详解】（1）当时，该项目获利为S，
则，
当时，，因此，该项目不会获利,
当时，S取得最大值，
所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损.
（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：，
当时，，
所以当时，取得最小值240；
当时，，
当且仅当，即时，取得最小值200；
因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
21．已知函数在区间上的最小值为．
（1）求函数的解析式．
（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）函数的对称轴，讨论对称轴所在的区间即可求解．
（2）根据已知定义在的函数为偶函数，再对其单调性进行研究可知，即，实数的取值范围即可求解．
【详解】（1）因为，
所以当时，，
此时．
当时，函数在区间上单调递减，所以．
综上可知．
（2）因为当时，，
所以当时，．
易知函数在上单调递减，
因为定义在上的函数为偶函数，且，
所以，解得或．
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论是哪种类型，解决的关键是明确对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
22．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得.
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增.
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
（2）由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以，解得或,
所以的取值范围为.
【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数.