2023-2024学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，集合，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：,,所以，故选B.
【解析】集合的运算.
2．若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：,
解得，
即函数定义域为，故选B.
【解析】求函数定义域
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.
点评：该题主要考查函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.
4．函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数定义域和图象上的点，排除法选择正确选项.
【详解】函数，定义域为，BD选项排除；
时，，A选项排除.
故选：C.
5．设函数的定义域为，，若，则等于（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】设，表示出，结合已知，即可得出答案.
【详解】设，
由已知可得，，
，
所以，
所以，，即.
故选：B.
6．已知不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A．或B．
C．D．或
【答案】A
【分析】由不等式的解集为,可得的根为，
，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.
【详解】的解集为,
的根为，
即，，
解得，
则不等式可化为，
即为，
解得或，故选A.
【点睛】本题考查的知识点是—元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，其中利用韦达定理求出的值，是解答本题的关键.
7．已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．和D．和
【答案】C
【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间.
【详解】因为函数的对称轴为直线，
由可得或，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的单调递增区间为和.
故选：C.
8．若，，且，恒成立，则实数的范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】A
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，
因为恒成立，则，
即，解得.
故选：A.
9．设，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分、两种情况解方程，求出的值，然后代值计算可得出的值.
【详解】因为，且.
当时，则，由可得，解得，合乎题意.
当时，由可得，无解.
所以，，则.
故选：C.
10．已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，设，则，得，可得，即可求解.
【详解】由题意，因为在为单调函数，且，
设，则，即，所以，
可得或（负值舍），所以，故选A.
【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、多选题
11．使得成 立的充分非必要条件有（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】ABC
【解析】解不等式，利用集合的包含关系可得出合适的选项.
【详解】由可得，如下图所示：
所以，不等式的解集为或，
A、B、C选项中的集合均为集合或的真子集，
因此，使得成 立的充分非必要条件有A、B、C选项.
故选：ABC.
【点睛】本题考查充分不必要条件的确定，同时也考查了分式不等式与高次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
12．对于实数、、，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则；B．若，则
C．若，则D．若，，则，
【答案】BCD
【分析】由不等式的性质判断．
【详解】若，则由得，A错；
若，则， ，B正确；
若，则，∴，∴，C正确；
若，且同号时，则有，因此由得，D正确．
故选BCD．
【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质中特别要注意性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘数一定要分正负，否则易出错．
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．在单调递增
C．的解集是D．的最大值是
【答案】AD
【分析】由奇函数的性质可得，可判断A选项；利用函数单调性和奇偶性可判断B选项；由可得，解该不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】因为数是定义在上的偶函数，当时，.
对于A选项，，A对；
对于B选项，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在上不单调，B错；
对于C选项，由可得，可得，
解得或，
所以不等式的解集为，C错；
对于D选项，因为函数为偶函数，要求函数的最大值，只需求该函数在上的最大值，
由二次函数的基本性质可知，当时，，D对.
故选：AD.
14．若函数在其定义域D的某个子区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称在M上是“弱增函数”，则（ ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【详解】对于A：在上为增函数，
在上是增函数，
故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，
由幂函数的性质可知，在上为减函数，
故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：因为在上单调递增，则在上单调递增，
，因为在单调递减，
则在上单调递增，
故不是上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，
则在上为增函数，所以，解得，
又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
15．已知函数，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，进而可解得实数的值.
【详解】已知函数，若，则，解得.
故答案为：.
16．命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
则，即，解得
故实数的取值范围是.
故答案为：.
17．若函数在上为增函数，则取值范围为 .
【答案】
【详解】函数在上为增函数，则需，
解得，故填.
18．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”．若函数存在“倍值区间”，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给出的新定义，因单调递增，则有两个零点，转化为二次函数在有两根，结合二次函数的零点分布列出不等式组即可.
【详解】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”，
知存在，使得，
设
则，且，
所以，
因此二次函数在上有两个零点，且，
则
解得，
故答案为：．
四、解答题
19．已知全集，集合，集合.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）={x∣x≤−3或x≥5}；=∅；（2）−1≤a≤.
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A、B,利用集合的基本运算即可算出结果；
（2）因为，所以，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出的取值范围．
【详解】（1）若，则集合，
或，
若，则集合，
（2）因为，所以，
①当时，，解，
②当时，即时，，
又由（1）可知集合，
，解得，且，
综上所求，实数的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
20．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明函数在上单调递增；
(3)解关于t的不等式，．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质结合题目条件，建立方程组，可得答案；
（2）利用函数单调性的定义，可得答案；
（3）整理不等式，结合奇函数以及单调性的性质，建立不等式组，可得答案.
【详解】（1）由是定义在上的奇函数，则，可得，解得，
由，可得，解得，
所以，经检验满足题意.
（2）取，不妨设，则
，
由，则，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）由是定义在的奇函数，在上单调递增，
则在上单调递增，
由，则，
根据函数为奇函数，则，
可得，解得.
21．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量（吨）最少为吨，最多为吨，日加工处理总成本（元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为元．
(1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本）
(2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式如下：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元.当日加工处理量为何值时每日利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)吨，该企业处理吨厨余垃圾处于亏损状态
(2)当吨时，企业获得最大利润，为元
【分析】（1）列出平均成本后，根据基本不等式即可判断；
（2）设该企业每日获利为，求出函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求出函数在上的最大值，即可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为
，，
，
当且仅当，即时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，
因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.
（2）解：设该企业每日获利为，
，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当吨时，企业获得最大利润，为元.
22．已知.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若，解不等式.
【答案】(1)
(2)解集见解析
【分析】（1）整理后分与两种情况，结合根的判别式列出不等式，求出答案；
（2）因式分解后得到，对进行分类讨论，求出实数a的取值范围.
【详解】（1）变形得到对一切实数x恒成立，
当时，，不对一切实数x恒成立，舍去；
当时，则需，解得，
综上，实数a的取值范围是；
（2），即，
因为，所以，
因为，
所以当时，，解集为，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
综上：当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为.
23．已知函数．
(1)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)若函数，是否存在实数、，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)存在，且
(2)存在，且
【分析】（1）令，可得出，问题转化为求函数在上的最小值，且最小值为，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合该函数的最小值为，可求得实数的值；
（2）假设存在实数、满足题意，可得出，将这两个等式作差可得出，可得出，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即可得出结论.
【详解】（1）解：令，因为，则，
因为，令，其中，
函数的图象开口向上，对称轴为直线.
当时，即当时，函数在上单调递增，
此时，，解得，合乎题意；
当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，解得，不合乎题意；
当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，，解得，不合乎题意.
因此，存在实数，使得的最小值为.
（2）解：因为，该函数的定义域为，
若存在实数、，使函数在上的值域为，则，
易知函数在区间上单调递减，
所以，，
上述两个等式作差可得，
即，
因为，则，所以，，
则，
又因为，则，所以，，
所以，，
所以，.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.