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2023-2024学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题（A卷）含答案
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这是一份2023-2024学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题（A卷）含答案，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知集合，，若，则实数 .
【答案】
【分析】利用集合包含关系，分类讨论元素的情况即可得解.
【详解】因为，，，
当时，得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，得或（舍去），此时，即，满足题意；
综上，.
故答案为：.
2．已知为一个非空数集，语句：“任意的，”的否定形式是 .
【答案】存在，．
【分析】根据命题的否定的定义求解．
【详解】命题的否定只要否定结论，同时存在题词与全称量词互换．
“任意的，”的否定形式是：存在，．
故答案为：存在，．
3．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 .
【答案】0
【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可.
【详解】由可得：要使不等式组的解集非空，
须使即：故满足条件的最大整数0.
故答案为：0.
4．若关于的不等式的解集非空，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由绝对值性质求得的最小值，即可得参数范围．
【详解】，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为134，从而．
故答案为：．
5．设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 .
【答案】12
【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可
【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集
集合的子集有个
其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个
故满足题意的集合的个数为
故答案为：12
6．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】画出函数图象观察即可.
【详解】如图，画出函数图象，
观察图象可知，函数的单调递增区间为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数单调区间的判断，属于基础题.
7．已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分类讨论，在时由可得．
【详解】时，不合题意，
因此且，∴，
故答案为：．
8．已知是方程的解集，={1，3，5，7，9}，={1，4，7，10}且，，则= .
【答案】26
【分析】根据集合之间的关系，确定一元二次方程的解集，即可由根与系数关系求得.
【详解】对方程，显然有两个根，
故可得集合中有两个元素；
因为，故可得中的两个元素一定在集合中；
又因为，故可得中的所有元素都不在中；
综上可得：中的元素一定是和，
由根与系数的关系可得：，则.
故答案为：.
9．已知正实数a、b满足，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】利用基本不等式求最小值．
【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：2.
10．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据运算“*”，，利用集合的交集和补集运算求解.
【详解】解：因为集合，，，，
所以，则，
又，
所以，
故答案为：
11．已知一个奇函数与一个偶函数的和为函数，则 .
【答案】
【分析】按题意列方程即可
【详解】记，按题意有，
又，
解得，
故答案为：.
12．已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用的单调性和不等式的性质可得答案.
【详解】当时，，且在上单调递减，
因为，所以，
所以，
因为在上单调递减，，
，
，，
所以.
故答案为：.
二、单选题
13．如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象观察离家距离的变化情况，从而确定可能路线．
【详解】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线是D符合题意，
故选：D．
14．已知a、b均为正实数，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】利用基本不等式证得，从而推得充分性成立；举反例推得必要性不成立，从而得解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当时，，此时，即充分性成立；
当时，取，此时，即必要性不成立；
综上，“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
15．若关于的方程的两个实数根，，集合， ，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，规定两根大小，然后根据集合的运算即可求解.
【详解】不妨设，则的解集为或，
,,,,
所以或.
故选; A
16．已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义可以判断选项A不可能；根据求解析式的方法可以判断选项B、C、D可能.
【详解】对于选项A，当时，.
由可得，
与函数的定义矛盾，所以选项A不可能.
对于选项B，当时，令，，.
因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增.
所以函数在区间上单调递增.
故，即.
因为
所以，即，此时的定义域为.故选项B可能.
对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能.
对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，属于难题.常见函数解析式的求法为：
（1）待定系数法：已知函数类型，可设出函数的解析式，再代入条件，求出参数，即可确定函数解析式；
（2）换元法与凑配法：已知解析式，求的解析式；
（3）解方程组消元法：已知与、或、或的关系，一般成对出现；
（4）奇偶性法：已知函数的奇偶性和函数在0某一侧的解析式，求函数在定义域上的解析式；
（5）赋值法：对抽象函数，根据具体的题目灵活的选择合适的值进行赋值.
（6）反函数法：根据反函数的概念.
三、解答题
17．已知常数，集合，集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）解不等式确定集合后，由交集定义计算；
（2）由得，然后由集合包含的定义求解．
【详解】（1），，
时，，
；
（2）由得，
时，，满足题意，
的两根分别是和，
时，，由题意，解得，
时，，由题意，解得，
综上，．
18．某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）.
(1)试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？
(2)该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：
①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；
②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.
试问哪一种方案较为划算？请说明理由.
【答案】(1)从第三年开始盈利.
(2)两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.
【分析】（1）列出纯收入的函数表达式，解纯收入大于0的不等式即可.
（2）分别计算两种方案的盈利和时间，比较后得结论.
【详解】（1）由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入，
，解得，
由，所以从第三年开始盈利.
（2）方案①：
纯收入，则5年后盈利总额达到最大值9万元，
以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；
方案②：
年均盈利，
由，，当且仅当，即时等号成立，
，
当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，
共盈利万元.
两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.
19．已知常数，.
(1)证明：对任意的，；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的定义域即可得，进而分类讨论求解不等式，即可求解，
（2）根据（1）的结论，即可得，进而可求解，
（3）根据即可求解.
【详解】（1）,
由于可得，
当时，由于，所以对任意的恒成立，故此时，满足，
当时，由于，所以，所以，可得，故此时，满足，
所以，对任意的，
（2）由（1）知，当时，，显然满足，
当时，，由于，
所以，故，
综上可知：
（3）由于，所以，，因此，所以，
20．若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记
，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定.
(1)若，函数的定义域为，求和；
(2)若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”；
(3)设，若函数的定义域为，且表达式为：
判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)是上的“单值函数”，证明见解析．
【分析】（1）根据新定义直接计算；
（2）根据新定义用反证法证明；
（3）根据新定义证明是否为上的“单值函数”，由函数定义说明的长度不变，然后得出在，，，…,（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，利用单值函数的定义得出，，从而证明结论成立．
【详解】（1）时，，所以，
时，，所以，
时，，所以；
（2）由已知单值函数的定义可以改写为：若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数.
假设不是上的单值函数，则存在，，成立，即，于是，即，依此类推，得，
但由题意，因此，而，因此，
这样得出了矛盾的结论，所以假设不成立，即是上的单值函数；
（3）由新定义知是单值函数，也是单值函数，
，则，
又时，，时，，
又，因此对任意的，，
所以是上的“单值函数”，
对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，
，，不妨设，，，
若，则，，
若，则，，
若，则，，
所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，…,（它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，
因此必存在，使得，又是上的单值函数，
所以，，…，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得.
【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，关键是正确理解新定义，能迅速运用新定义解题，本题中对单值函数的定义理解时关键点改写为，对理解新定义起到很好的辅助作用（与单调性定义比较），加速理解新定义，在问题3的证明中抓住函数的定义域区间“长度”与值域“长度”不变，从而有，然后利用新定义追根溯源得出．
21．已知函数的定义域为，其图像是一段连续曲线，在上是严格减函数，对任意的、，恒有，且，.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)证明：方程在区间上有解；
(3)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)函数为偶函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）赋值法求出，得到，可判断函数的奇偶性；
（2）讨论函数在区间上的取值范围，证明方程在区间上有解；
（3）利用函数奇偶性和单调性，结合特殊点的函数值，解不等式.
【详解】（1）函数为偶函数，证明如下：
对任意的、，恒有，且，，
当时，，解得，
当时，，则有，
又函数的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）当时，，解得，
当时，，解得，
函数为偶函数，，又，
函数的图像是一段连续曲线，，
所以存在，使，即方程在区间上有解；
（3）当时，，有，
在上是严格减函数，，得，
当时，，，
函数为偶函数，，，
在上是严格增函数，在上是严格减函数
当时，不等式即，
解得或，即不等式解集为.
一、填空题
1．已知集合，，若，则实数 .
【答案】
【分析】利用集合包含关系，分类讨论元素的情况即可得解.
【详解】因为，，，
当时，得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，得或（舍去），此时，即，满足题意；
综上，.
故答案为：.
2．已知为一个非空数集，语句：“任意的，”的否定形式是 .
【答案】存在，．
【分析】根据命题的否定的定义求解．
【详解】命题的否定只要否定结论，同时存在题词与全称量词互换．
“任意的，”的否定形式是：存在，．
故答案为：存在，．
3．若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 .
【答案】0
【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可.
【详解】由可得：要使不等式组的解集非空，
须使即：故满足条件的最大整数0.
故答案为：0.
4．若关于的不等式的解集非空，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由绝对值性质求得的最小值，即可得参数范围．
【详解】，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为134，从而．
故答案为：．
5．设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 .
【答案】12
【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可
【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集
集合的子集有个
其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个
故满足题意的集合的个数为
故答案为：12
6．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】画出函数图象观察即可.
【详解】如图，画出函数图象，
观察图象可知，函数的单调递增区间为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数单调区间的判断，属于基础题.
7．已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分类讨论，在时由可得．
【详解】时，不合题意，
因此且，∴，
故答案为：．
8．已知是方程的解集，={1，3，5，7，9}，={1，4，7，10}且，，则= .
【答案】26
【分析】根据集合之间的关系，确定一元二次方程的解集，即可由根与系数关系求得.
【详解】对方程，显然有两个根，
故可得集合中有两个元素；
因为，故可得中的两个元素一定在集合中；
又因为，故可得中的所有元素都不在中；
综上可得：中的元素一定是和，
由根与系数的关系可得：，则.
故答案为：.
9．已知正实数a、b满足，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】利用基本不等式求最小值．
【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：2.
10．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据运算“*”，，利用集合的交集和补集运算求解.
【详解】解：因为集合，，，，
所以，则，
又，
所以，
故答案为：
11．已知一个奇函数与一个偶函数的和为函数，则 .
【答案】
【分析】按题意列方程即可
【详解】记，按题意有，
又，
解得，
故答案为：.
12．已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用的单调性和不等式的性质可得答案.
【详解】当时，，且在上单调递减，
因为，所以，
所以，
因为在上单调递减，，
，
，，
所以.
故答案为：.
二、单选题
13．如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象观察离家距离的变化情况，从而确定可能路线．
【详解】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线是D符合题意，
故选：D．
14．已知a、b均为正实数，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】利用基本不等式证得，从而推得充分性成立；举反例推得必要性不成立，从而得解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当时，，此时，即充分性成立；
当时，取，此时，即必要性不成立；
综上，“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
15．若关于的方程的两个实数根，，集合， ，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，规定两根大小，然后根据集合的运算即可求解.
【详解】不妨设，则的解集为或，
,,,,
所以或.
故选; A
16．已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义可以判断选项A不可能；根据求解析式的方法可以判断选项B、C、D可能.
【详解】对于选项A，当时，.
由可得，
与函数的定义矛盾，所以选项A不可能.
对于选项B，当时，令，，.
因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增.
所以函数在区间上单调递增.
故，即.
因为
所以，即，此时的定义域为.故选项B可能.
对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能.
对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，属于难题.常见函数解析式的求法为：
（1）待定系数法：已知函数类型，可设出函数的解析式，再代入条件，求出参数，即可确定函数解析式；
（2）换元法与凑配法：已知解析式，求的解析式；
（3）解方程组消元法：已知与、或、或的关系，一般成对出现；
（4）奇偶性法：已知函数的奇偶性和函数在0某一侧的解析式，求函数在定义域上的解析式；
（5）赋值法：对抽象函数，根据具体的题目灵活的选择合适的值进行赋值.
（6）反函数法：根据反函数的概念.
三、解答题
17．已知常数，集合，集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）解不等式确定集合后，由交集定义计算；
（2）由得，然后由集合包含的定义求解．
【详解】（1），，
时，，
；
（2）由得，
时，，满足题意，
的两根分别是和，
时，，由题意，解得，
时，，由题意，解得，
综上，．
18．某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）.
(1)试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？
(2)该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：
①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；
②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.
试问哪一种方案较为划算？请说明理由.
【答案】(1)从第三年开始盈利.
(2)两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.
【分析】（1）列出纯收入的函数表达式，解纯收入大于0的不等式即可.
（2）分别计算两种方案的盈利和时间，比较后得结论.
【详解】（1）由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入，
，解得，
由，所以从第三年开始盈利.
（2）方案①：
纯收入，则5年后盈利总额达到最大值9万元，
以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；
方案②：
年均盈利，
由，，当且仅当，即时等号成立，
，
当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，
共盈利万元.
两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.
19．已知常数，.
(1)证明：对任意的，；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的定义域即可得，进而分类讨论求解不等式，即可求解，
（2）根据（1）的结论，即可得，进而可求解，
（3）根据即可求解.
【详解】（1）,
由于可得，
当时，由于，所以对任意的恒成立，故此时，满足，
当时，由于，所以，所以，可得，故此时，满足，
所以，对任意的，
（2）由（1）知，当时，，显然满足，
当时，，由于，
所以，故，
综上可知：
（3）由于，所以，，因此，所以，
20．若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记
，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定.
(1)若，函数的定义域为，求和；
(2)若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”；
(3)设，若函数的定义域为，且表达式为：
判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)是上的“单值函数”，证明见解析．
【分析】（1）根据新定义直接计算；
（2）根据新定义用反证法证明；
（3）根据新定义证明是否为上的“单值函数”，由函数定义说明的长度不变，然后得出在，，，…,（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，利用单值函数的定义得出，，从而证明结论成立．
【详解】（1）时，，所以，
时，，所以，
时，，所以；
（2）由已知单值函数的定义可以改写为：若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数.
假设不是上的单值函数，则存在，，成立，即，于是，即，依此类推，得，
但由题意，因此，而，因此，
这样得出了矛盾的结论，所以假设不成立，即是上的单值函数；
（3）由新定义知是单值函数，也是单值函数，
，则，
又时，，时，，
又，因此对任意的，，
所以是上的“单值函数”，
对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，
，，不妨设，，，
若，则，，
若，则，，
若，则，，
所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，…,（它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，
因此必存在，使得，又是上的单值函数，
所以，，…，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得.
【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，关键是正确理解新定义，能迅速运用新定义解题，本题中对单值函数的定义理解时关键点改写为，对理解新定义起到很好的辅助作用（与单调性定义比较），加速理解新定义，在问题3的证明中抓住函数的定义域区间“长度”与值域“长度”不变，从而有，然后利用新定义追根溯源得出．
21．已知函数的定义域为，其图像是一段连续曲线，在上是严格减函数，对任意的、，恒有，且，.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)证明：方程在区间上有解；
(3)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)函数为偶函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）赋值法求出，得到，可判断函数的奇偶性；
（2）讨论函数在区间上的取值范围，证明方程在区间上有解；
（3）利用函数奇偶性和单调性，结合特殊点的函数值，解不等式.
【详解】（1）函数为偶函数，证明如下：
对任意的、，恒有，且，，
当时，，解得，
当时，，则有，
又函数的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）当时，，解得，
当时，，解得，
函数为偶函数，，又，
函数的图像是一段连续曲线，，
所以存在，使，即方程在区间上有解；
（3）当时，，有，
在上是严格减函数，，得，
当时，，，
函数为偶函数，，，
在上是严格增函数，在上是严格减函数
当时，不等式即，
解得或，即不等式解集为.
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