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2023-2024学年上海市宜川中学高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年上海市宜川中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知全集，集合，则＝ ．
【答案】
【分析】根据已知条件，先求出并集与补集的定义，即可求解．
【详解】由题设或，
所以.
故答案为：．
2．已知，关于的不等式的解集为，则 ．
【答案】-7
【分析】由一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系即可求得结果.
【详解】由题意知，与是的两根，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
3．当时，化简 ．
【答案】
【分析】根据根式的性质计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
4．命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ．
【答案】且
【分析】由或的否定为且，从而可得结果.
【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”.
故答案为：且.
5．已知，，试用、表示 ．
【答案】
【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：
6．设圆的半径为r，则半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值是 ．
【答案】
【分析】设为半圆上一点，为圆的直径，进而结合勾股定理和基本不等式即可求解.
【详解】设为半圆上一点，为圆的直径，则，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值是.
故答案为：.
7．设，方程的解集为 .
【答案】
【分析】利用零点分段法去绝对值，由此求得方程的解集.
【详解】依题意，
当时，方程化为，恒成立.
当时，方程化为，不符合.
当时，方程化为.
当时，方程化为，恒成立.
方程的解集为.
故答案为：
8．若函数的值域是，则此函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】求出的反函数，由原函数的值域即为反函数的定义域，即可求出反函数的值域，从而求出原函数的定义域.
【详解】由，则，，
即函数的值域是的反函数为，，
当时，所以，
当时，所以，
即反函数，的值域为，
所以原函数的定义域为.
故答案为：
9．已知集合，且图象关于y轴对称，则集合中的元素个数为 ．
【答案】3
【分析】分别研究k取集合A中的各个元素时所对应的幂函数的奇偶性即可.
【详解】因为图象关于y轴对称，所以为偶函数.
当时，，定义域为，，所以为奇函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，所以为非奇非偶函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，，所以为奇函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，，所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，所以为奇函数，故不符合题意；
综述：当或或时，符合题意.
所以集合B中的元素个数为3.
故答案为：3.
10．点、都在同一个指数函数的图像上，则t= ．
【答案】9
【分析】用待定系数写出指数函数解析式，代入对应点求解即可.
【详解】设指数函数为，其中且，
将、代入函数解析式得，解得，
.
故答案为：9
11．已知，，，，，，，，则下列关于集合，，关系的表述 ．
【答案】
【分析】分别求出集合P，Q，S中的元素满足的条件，进而得出结论．
【详解】
，，，，，
，，，，
，，，，
．
故答案为：．
12．若正实数满足，则的最大值为 .
【答案】4
【分析】将用的表达式表示，结合，利用均值不等式求出，从而确定的范围.
【详解】因为，
所以，
又且，
所以，
解得，
=
结合知，有最大值4.
故答案为：4.
二、单选题
13．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件.
【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得，
等号成立当且仅当，即，此时满足题意.
故选：A.
14．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知，结合不等式性质及指对数的性质比较各式的大小关系.
【详解】A：若，此时，错；
B：若，此时，错；
C：由单调递增，且，则，所以，对；
D：若，则，此时，错.
故选：C
15．如图所示，函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.
【详解】∵，
∴时，，
当时，函数为上的单调递增函数，且，
当时，函数为上的单调递减函数，且，
故选：B
16．标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.
【详解】由题意，对于，有
，
所以，分析选项B中与其最接近.
故选：B
17．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：
①若为“完美集合”，则一定有；
②“完美集合”一定是无限集；
③集合为“完美集合”；
④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命题是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.
【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对；
对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错；
对于③，集合，
在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数，
则，，
，
集合为“完美集合”，③对；
对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错.
故选：A.
三、解答题
18．命题甲：关于的不等式的解集是空集.命题乙：指数函数随着增大而减小.
(1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求实数的取值范围；
(2)当命题甲是假命题且命题乙为真命题时，证明：.
【答案】(1)或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出命题甲、命题乙都为真时a的范围，再根据给定条件求解即可.
（2）由（1）的信息，求出a的范围，再利用作差法推理即得.
【详解】（1）命题甲为真命题时，，解得，
命题乙为真命题时，，解得或，
由命题甲、命题乙中至少有一个真，得或，
所以实数的取值范围是得或.
（2）由（1）知，命题甲是假命题，则，又命题乙为真命题，因此，
而，显然，
即有，所以.
19．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；
（2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.
【详解】（1）若，由，解得，则，
又，即等价于，解得，
则，
.
（2）由等价于，
当时，集合，符合；
当时，由，解得，
即，又，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
20．某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本)
【答案】(1)20元
(2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元
【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价.
（2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价.
【详解】（1）设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶，
所以提价少月销售总利润为万元．
因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润，
所以，即，
所以，所以售价最多为(元)，
故该饮料每瓶售价最多为20元．
（2）由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为，
整理得
因为，所以，
所以，
当且仅当时取到等号，
故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元．
21．已知函数．
(1)当时，解不等式：；
(2)若函数在上的最大值为，求的值；
(3)当时，记，若对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的取值范围．
【答案】(1)
(2)不存在
(3)
【分析】（1）直接根据对数函数单调性解不等式即可，注意首先要使得对数有意义.
（2）直接对比较大小分类讨论即可.
（3）将原题等价转换为在上恒成立，从而列出不等式即可求解.
【详解】（1）由，得，
则，且或，即不等式的解集为.
（2）由复合函数单调性可知在上单调递增，
故函数在上的最大值为
若，则或，
，矛盾，故舍去
若，则
，但此时，矛盾，故舍去.
所以：的值不存在.
（3）因为，
对任意的，函数的图像总在函数图像的下方，
则在上恒成立，
即在上恒成立，，
即在上恒成立，
整理得:在上恒成立，
设
则只需要即可，可得，
又因为，所以，所以正数的范围为.
22．对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足:
①;
②;
③，则称互为等矩集.
(1)若集合与互为等矩集，求的值;
(2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集；
【答案】(1)或.
(2)证明见解析.
【分析】（1）由等矩集定义，列出关于和的方程组，求解即可；
（2）利用等矩集的定义，只需证明和满足等矩集的三条定义即可；
【详解】（1）解：由等矩集定义，则，可得，
结合韦达定理可知，，为方程的两个根，
解得或，符合题意，
所以或；
（2）证明：只需证明和满足等矩集的三条定义即可，
，
故满足定义①；
，
故满足定义②；
假设，则存在，，，可得，与矛盾，
所以，
故满足定义③．
综上所述，和也互为等矩集；
一、填空题
1．已知全集，集合，则＝ ．
【答案】
【分析】根据已知条件，先求出并集与补集的定义，即可求解．
【详解】由题设或，
所以.
故答案为：．
2．已知，关于的不等式的解集为，则 ．
【答案】-7
【分析】由一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系即可求得结果.
【详解】由题意知，与是的两根，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
3．当时，化简 ．
【答案】
【分析】根据根式的性质计算可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：
4．命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ．
【答案】且
【分析】由或的否定为且，从而可得结果.
【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”.
故答案为：且.
5．已知，，试用、表示 ．
【答案】
【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：
6．设圆的半径为r，则半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值是 ．
【答案】
【分析】设为半圆上一点，为圆的直径，进而结合勾股定理和基本不等式即可求解.
【详解】设为半圆上一点，为圆的直径，则，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值是.
故答案为：.
7．设，方程的解集为 .
【答案】
【分析】利用零点分段法去绝对值，由此求得方程的解集.
【详解】依题意，
当时，方程化为，恒成立.
当时，方程化为，不符合.
当时，方程化为.
当时，方程化为，恒成立.
方程的解集为.
故答案为：
8．若函数的值域是，则此函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】求出的反函数，由原函数的值域即为反函数的定义域，即可求出反函数的值域，从而求出原函数的定义域.
【详解】由，则，，
即函数的值域是的反函数为，，
当时，所以，
当时，所以，
即反函数，的值域为，
所以原函数的定义域为.
故答案为：
9．已知集合，且图象关于y轴对称，则集合中的元素个数为 ．
【答案】3
【分析】分别研究k取集合A中的各个元素时所对应的幂函数的奇偶性即可.
【详解】因为图象关于y轴对称，所以为偶函数.
当时，，定义域为，，所以为奇函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，所以为非奇非偶函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，，所以为奇函数，故不符合题意；
当时，，定义域为，，所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，所以为偶函数，故符合题意；
当时，，定义域为，，所以为奇函数，故不符合题意；
综述：当或或时，符合题意.
所以集合B中的元素个数为3.
故答案为：3.
10．点、都在同一个指数函数的图像上，则t= ．
【答案】9
【分析】用待定系数写出指数函数解析式，代入对应点求解即可.
【详解】设指数函数为，其中且，
将、代入函数解析式得，解得，
.
故答案为：9
11．已知，，，，，，，，则下列关于集合，，关系的表述 ．
【答案】
【分析】分别求出集合P，Q，S中的元素满足的条件，进而得出结论．
【详解】
，，，，，
，，，，
，，，，
．
故答案为：．
12．若正实数满足，则的最大值为 .
【答案】4
【分析】将用的表达式表示，结合，利用均值不等式求出，从而确定的范围.
【详解】因为，
所以，
又且，
所以，
解得，
=
结合知，有最大值4.
故答案为：4.
二、单选题
13．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件.
【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得，
等号成立当且仅当，即，此时满足题意.
故选：A.
14．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知，结合不等式性质及指对数的性质比较各式的大小关系.
【详解】A：若，此时，错；
B：若，此时，错；
C：由单调递增，且，则，所以，对；
D：若，则，此时，错.
故选：C
15．如图所示，函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.
【详解】∵，
∴时，，
当时，函数为上的单调递增函数，且，
当时，函数为上的单调递减函数，且，
故选：B
16．标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.
【详解】由题意，对于，有
，
所以，分析选项B中与其最接近.
故选：B
17．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：
①若为“完美集合”，则一定有；
②“完美集合”一定是无限集；
③集合为“完美集合”；
④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命题是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.
【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对；
对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错；
对于③，集合，
在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数，
则，，
，
集合为“完美集合”，③对；
对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错.
故选：A.
三、解答题
18．命题甲：关于的不等式的解集是空集.命题乙：指数函数随着增大而减小.
(1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求实数的取值范围；
(2)当命题甲是假命题且命题乙为真命题时，证明：.
【答案】(1)或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出命题甲、命题乙都为真时a的范围，再根据给定条件求解即可.
（2）由（1）的信息，求出a的范围，再利用作差法推理即得.
【详解】（1）命题甲为真命题时，，解得，
命题乙为真命题时，，解得或，
由命题甲、命题乙中至少有一个真，得或，
所以实数的取值范围是得或.
（2）由（1）知，命题甲是假命题，则，又命题乙为真命题，因此，
而，显然，
即有，所以.
19．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；
（2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.
【详解】（1）若，由，解得，则，
又，即等价于，解得，
则，
.
（2）由等价于，
当时，集合，符合；
当时，由，解得，
即，又，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
20．某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本)
【答案】(1)20元
(2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元
【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价.
（2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价.
【详解】（1）设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶，
所以提价少月销售总利润为万元．
因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润，
所以，即，
所以，所以售价最多为(元)，
故该饮料每瓶售价最多为20元．
（2）由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为，
整理得
因为，所以，
所以，
当且仅当时取到等号，
故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元．
21．已知函数．
(1)当时，解不等式：；
(2)若函数在上的最大值为，求的值；
(3)当时，记，若对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的取值范围．
【答案】(1)
(2)不存在
(3)
【分析】（1）直接根据对数函数单调性解不等式即可，注意首先要使得对数有意义.
（2）直接对比较大小分类讨论即可.
（3）将原题等价转换为在上恒成立，从而列出不等式即可求解.
【详解】（1）由，得，
则，且或，即不等式的解集为.
（2）由复合函数单调性可知在上单调递增，
故函数在上的最大值为
若，则或，
，矛盾，故舍去
若，则
，但此时，矛盾，故舍去.
所以：的值不存在.
（3）因为，
对任意的，函数的图像总在函数图像的下方，
则在上恒成立，
即在上恒成立，，
即在上恒成立，
整理得:在上恒成立，
设
则只需要即可，可得，
又因为，所以，所以正数的范围为.
22．对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足:
①;
②;
③，则称互为等矩集.
(1)若集合与互为等矩集，求的值;
(2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集；
【答案】(1)或.
(2)证明见解析.
【分析】（1）由等矩集定义，列出关于和的方程组，求解即可；
（2）利用等矩集的定义，只需证明和满足等矩集的三条定义即可；
【详解】（1）解：由等矩集定义，则，可得，
结合韦达定理可知，，为方程的两个根，
解得或，符合题意，
所以或；
（2）证明：只需证明和满足等矩集的三条定义即可，
，
故满足定义①；
，
故满足定义②；
假设，则存在，，，可得，与矛盾，
所以，
故满足定义③．
综上所述，和也互为等矩集；
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