2023-2024学年四川省成都东部新区养马高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都东部新区养马高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．满足条件的所有集合A的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】因为，
所以，集合A可能为，
即所有集合A的个数是4，故选D.
2．关于命题“对于所有的时，方程大于等于”，命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据命题的否定的概念直接得解.
【详解】命题“对于所有的时，方程大于等于”，
即“，”，
所以其否定为“，”，
故选：C.
3．的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先解不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由，即，解得，
因为，
所以的一个必要不充分条件可以是.
故选：A
4．函数在区间上是减函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性可得最值.
【详解】由函数在区间上是减函数，
可知当时，函数取最小值为，
故选：B.
5．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与； ④与．
A．① ②B．① ③C．③ ④D．① ④
【答案】C
【分析】根据函数的概念直接判断各选项.
【详解】①，定义域为，所以，所以与不是同一函数；
②，所以与不是同一函数；
③的定义域为，即，的定义域为，所以，所以与表示同一函数；
④与表示同一函数；
故选：C.
6．下列四个图像中，是函数图像的是（ ）
A．（1）B．（3）（4）C．（1）（2）（3）D．（1）（3）（4）
【答案】D
【分析】根据函数的定义进行判断即可.
【详解】由函数的定义可知：任意一个的值，都有唯一确定的值与之对应，所以（2）不符合，故选：D
7．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】讨论与两种情况.当时满足题意,当时,根据即可求得实数的取值范围.
【详解】当时,分母变为常数1,所以定义域为,即符合题意
因为定义域为,所以当时, 符合题意.且同时满足
即,解不等式可得
综上所述,实数的取值范围为,即
故选D
【点睛】本题考查了函数定义域的求解,定义域为R时函数满足的条件,属于基础题.
8．已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先解出集合，再根据求的取值范围.
【详解】解不等式得，
要使，
当集合时，，解得；
当集合时，，解得.
综上：.
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题容易忽视的情况.
二、多选题
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用配凑法可得函数解析式，进而判断各选项.
【详解】由，
所以，C选项错误，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
故选：BD.
10．若函数的定义域为，则下列选项是函数 的定义域的真子集的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】依题意可得，即可求出的定义域，再判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，
对于函数，则，解得且，
所以 的定义域为，
则函数 的定义域的真子集有，.
故选：CD
11．下列函数中，值域为的是（ ）
A．，B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B，求出函数的定义域、从而求出值域，即可判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】对于A：函数，在上单调递增，又，，
所以，的值域为，故A正确；
对于B：函数在上单调递减，又，，
所以，故B正确；
对于C：函数，令，解得，
即函数的定义域为，则，则，，
所以，故C正确；
对于D：因为，则，
当且仅当，即时取等号，所以，故D错误；
故选：ABC
12．若正实数，满足，则下列选项中正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最小值4D．有最小值
【答案】AC
【分析】根据基本不等式及其变形解答即可.
【详解】，，且，
，，当且仅当时等号成立，
有最大值，所以A正确；
，
所以，当且仅当时等号成立，所以B错误；
，当且仅当时等号成立，
有最小值4，所以C正确；
，当且仅当时等号成立，
的最小值不是，所以D错误．
故选：AC
三、填空题
13．已知，均为集合的子集，且，，则集合 ．
【答案】
【分析】根据集合间交并补的混合运算可得解.
【详解】由，，
可得，
故答案为：.
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由题可列出不等式组，解之即得.
【详解】要使函数有意义，
须满足，
解得且，
故函数的定义域为．
故答案为：．
15．若，，则的取值范围用区间表示为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质计算可得.
【详解】因为，所以，则，
又，所以，则，
即的取值范围为.
故答案为：
16．已知，则
【答案】100
【解析】分析得出得解.
【详解】
∴
故答案为：100．
【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键.
四、解答题
17．已知，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先解绝对值不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得；
（2）依题意可得或，解得即可.
【详解】（1）由，即，即，解得，
所以，
当时，
所以
（2）因为，显然，
所以或，
解得或，
即实数的取值范围为.
18．已知函数.
(1)求及的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根据函数的解析式，求得，，进而得到的值.
（2）根据函数的解析式，分，和三种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
可得，，
所以.
（2）当时，可得，解得，符合．
当时，可得，解得，符合；
当时，可得，解得，不符合．
综上可得：或．
19．（1）已知，，若，求的最小值．
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用基本不等式“”的代换，可得最值；
（2）利用基本不等式可得最值.
【详解】（1）由，
得，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为；
（2）由，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
20．已知函数 ．
(1)求．
(2)求证：函数在上是单调减函数．
(3)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数解析式计算可得；
（2）直接用定义法证明函数的单调性；
（3）利用（2）的单调性结论可求函数在上的值域.
【详解】（1）因为，所以，.
（2）任取，且，
则，
由，，且，则，，
所以，
所以，
所以函数在上是单调减函数．
（3）由（2）可得函数在上单调减函数，
所以，即，
所以函数在上的值域为.
21．（1）是一次函数，且满足，求的解析式;
（2）已知函数，求函数的解析式．
（3）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】（1）利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）利用配凑法可求得函数解析式；
（3）利用方程组法可求得函数解析式.
【详解】（1）由已知是一次函数，设函数，，
则，
即，
即，解得，
所以；
（2）由，
则；
（3）由已知①，，
则②，
所以①②得，，
所以，.
22．已知函数，（）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；
（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；
（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.
【详解】（1）当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
（2）由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
（3）当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以解得，
③当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.