2023-2024学年广东省广州市第八十九中学高一上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市第八十九中学高一上学期11月期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先将全集用列举法表示出来，然后根据集合的补集、交集运算即可求解.
【详解】由题意，
又，所以，
又，所以.
故选：C.
2．若命题：，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.
【详解】命题：，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题的否定为，.
故选：C
3．设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】逐项分析定义域和值域的对应情况，由此判断出结果.
【详解】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误；
对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确；
对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误；
对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误；
故选：B.
4．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意求出，，根据不等式性质即可求得答案.
【详解】因为，所以，，
故，
故选：D
5．已知函数若，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.
【详解】由题意知，
，
又，所以，
所以，
解得.
故选：C
6．若满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】D
【分析】利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为，，两边同除得，
所以．
当且仅当时等号成立，
故选：D.
7．已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由知，在上单调递增，结合偶函数，知其在在上单调递减即可解.
【详解】对，满足，
等价于函数在上单调递增，
又因为函数关于直线对称，所以函数在上单调递减.
则可化为，
解得.
故选：B.
8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知在上为局部奇函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用函数新定义，通过分离参数和基本不等式即可求解.
【详解】由局部奇函数的定义可知，，
从而，
因为，
所以，
当且仅当，即时，不等式取等号，
从而，即实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为B．若函数是奇函数，则
C．函数在定义域上是减函数D．若，则
【答案】AB
【分析】根据指数函数的性质、奇函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：由，所以本选项正确；
B：因为是奇函数，
所以，
所以本选项正确；
C：，显然，所以本选项不正确；
D：，因此本选项不正确，
故选：AB
10．以下关于数的大小的结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】利用指数函数的单调性及指数幂的运算性质逐选项判断即可..
【详解】对于A，因为，，所以，故A错误；
对于B，因为单调递减，，∴，故B正确；
对于C，因为单调递增，，∴，故C正确；
对于D，，，因为，
所以，故D正确；
故选：BCD.
11．下列四个选项中，正确的选项有（ ）
A．“不等式成立”的一个必要不充分条件是
B．若，，则
C．与不是同一函数
D．已知，且，若恒成立，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】结合一元二次不等式的解法，以及充分、必要条件的判定方法，可判断A；举反例判断B；根据同一函数与的定义判断C；根据基本不等式求得的最小值为12，得到恒成立，进而可判断D.
【详解】对于A，由不等式，解得，
所以是不等式成立的一个必要不充分条件，所以A正确；
对于B，取，则满足，，但此时，所以B不正确；
对于C，定义域为，的定义域为，
定义域不同，所以与不是同一函数，所以C正确；
对于D，由，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
即的最小值为12，
可得恒成立，
由不等式，解得或，
所以的取值范围为，所以D正确.
故选：ACD.
12．下列说法中错误的为（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若，则
C．函数的值域为：
D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据复合函数定义域判断A；根据凑项法求函数解析式即可判断B；利用指数复合函数结合换元法与函数单调性求得函数值域，从而判断C；根据分段函数的单调性列不等式求实数的取值范围，即可判断D.
【详解】若函数的定义域为，则函数的定义域满足，解得，所以函数的定义域为，故A正确；
若，则，故B错误；
对于函数的，令，则，该函数在上递增，所以其值域为，故C错误；
已知在上是增函数，则，解得，则实数的取值范围是，故D正确.
故选：BC.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得且，
故的定义域为.
故答案为：
14．已知幂函数的图象经过点，则的值为 ．
【答案】1
【分析】设出幂函数解析式，代入，求出解析式，得到的值.
【详解】设幂函数，则，故，
所以，.
故答案为：1
15．已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据三个“二次”的关系，分类讨论即可解出．
【详解】因为不等式有解，当时，显然不等式有解；当时，不等式
有解等价于方程有两相异实根，所以，解得：，综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
16．已知函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分析题意，进行等价转化为两函数的最大值的大小问题，分析转化两个函数的解析式，画出两函数的图象，利用数形结合可以得到实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对于任意，总存在，使得成立，
等价于所以在上的最大值小于在上的最大值.
,,
的图象为分段的二次函数形式，的图象为反比例函数向左平移1个单位，向上平移4个单位得到，画出两函数在时的图象，如图所示.
,点A是直线与函数()的交点，
是、在轴右侧的交点.
由图可知，为使在上的最大值小于在上的最大值.
直线必须且只需在点之间，
由，解得,
由解得,
∴实数的取值范围，
故答案为：.

四、解答题
17．函数
(1)画出函数的图象；
(2)当时，写出的单调区间，并求函数在区间上的值域（直接写值域，不要过程）.
【答案】(1)函数图象见解析
(2)单调增区间为，，单调减区间为，；
【分析】（1）根据给定的分段函数，作出函数图象即可.
（2）借助图象得到的单调区间，利用函数的单调性求出在区间上的值域即可.
【详解】（1）函数在上的图象是直线在的部分，
在上的图象是抛物线在的部分，
在上的图象是直线在的部分，函数的图象如图，
（2）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调增区间为，，单调减区间为，
而，，，，
因此，，
所以函数在上的值域为.
18．计算化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】利用分数指数幂的运算法则进行计算即可得解.
【详解】（1）
.
（2）
.
19．设为实数，集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）求出时集合B，再利用集合的运算即可求出与；
（2）根据得出关于m的不等式，由此求出实数m的取值范围.
【详解】（1）若，则，可得，
所以或.
（2）因为，可知，
若，则或，解得或，
所以实数的取值范围是或.
20．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；
（2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案.
【详解】（1）解：设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因函数是定义在上的奇函数，可得，
所以函数在上的解析式为.
（2）解：作出函数的图象，如图所示，
由函数图象可知，在上单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
21．已知函数，为实数.
(1)判断函数的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)若为奇函数，求实数的值；
(3)在条件（2）下，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)在上是增函数，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）对于任意，令，计算并判断正负即可得出单调性.
（2）由是奇函数可知，可求出，并用定义检验即可.
（3）由题意可知原不等式等价于恒成立，即恒成立，利用判别式小于0可求出.
【详解】（1）在上是增函数，证明如下：
对于任意，令，
则，
因为在上是增函数，且，所以，
又因为，
所以，即，
所以在上是增函数.
（2）因为为奇函数是奇函数，定义域为，
所以，
所以，
当时，，
此时，满足题意，
所以.
（3）因为在上是增函数且是奇函数,
则不等式恒成立，等价于恒成立，
即，即恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围.
22．定义在上的函数满足：对于，，成立，当时，恒成立.
(1)求的值；
(2)判断并证明的奇偶性；
(3)当时，解关于的不等式
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）令可得；
（2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；
（3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集.
【详解】（1）由已知，对于，，成立．
令，则，可得．
（2）由（1）得，
令，则．所以，对有，
故是奇函数．
（3）任取且，则，由已知有，
又，得，
所以在上是减函数．
因为，即
所以．
即，
因为在上是减函数，
所以， 即，又，
所以.
讨论如下：当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.