2023-2024学年江苏省南京市第十三中学高一上学期11月期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南京市第十三中学高一上学期11月期中数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得答案.
【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题可知，
命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
2．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】应用集合的交并补运算即可.
【详解】，.
故选：A．
3．的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
4．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解.
【详解】定义域要求，即.
故选：B．
5．已知a，b是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为且，
所以由不能推出，由能推出，
则是的必要不充分条件.
故选：B．
6．扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】设半径为，则周长，则，扇形面积，故选D．
7．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】比较出，得到，中间值比大小得到，从而得到答案.
【详解】，，，则，，
而，则.
故选：D．
8．一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（ ）
A．5小时后B．7小时后
C．9小时后D．11小时后
【答案】B
【分析】设小时后减少到，依题意可得，两边同时取对数，再根据对数的运算法则计算可得.
【详解】设小时后减少到，则，则，即，
则，则，则注射时间需小于小时.
故选：B．
二、多选题
9．下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】的对称轴是，则在上为增函数，故A正确；
在上为减函数，则在上为增函数，故B正确；
，则在上为增函数，在上为减函数，故C错误；
由幂函数的性质可知，在上为增函数，故D正确.
故选：ABD.
10．下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据角所在范围，结合图象得到函数值的正负，得到答案.
【详解】A选项，，则，A正确；
B选项，，则，B错误；
C选项，，则，C正确；
D选项，，，D错误；
故选：AC．
11．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用基本不等式和不等式的性质判断各选项即可.
【详解】由，及，
可得即，及即，则A正确，C错误；
由可得，由可得，
则，则，即，B正确；
，由可得，则，时取等，D错误；
故选：AB．
12．是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由是偶函数，可得关于对称，由此结合函数的奇偶性将各选项中自变量转化到区间内，结合解析式即可求值，即可得答案.
【详解】由是偶函数，可得，则关于对称，
A选项，由奇函数可得，A错误；
B选项，由关于对称可得，B正确；
C选项，由关于对称可得，
由奇函数可得，即，C正确；
D选项，由关于对称可得，
由，则，
，即，D正确；
故选：BCD．
三、填空题
13．点是角终边上一点，则 ．
【答案】
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可.
【详解】根据任意角的三角函数定义，得．
故答案为：.
14．函数且的图象如图所示，则 ．
【答案】/
【分析】根据给定的函数图象经过的点，求出即可.
【详解】由图知，函数的图象过点，
于是，，解得，，
所以．
故答案为：
15．已知是定义域为的偶函数，在上为单调增函数，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【详解】由题意可得在上为单调减函数，且，
则时，时，时或；
由可得或，则或，
故不等式的解集为．
故答案为：．
四、双空题
16．已知函数，
①满足的实数的取值集合为 ；（用列举法表示）
②若，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据求出或，进一步求得的取值；根据得，将转化为，使用基本不等式求最小值.
【详解】①令，则，则或2，由可得，由可得，则实数的取值集合是；
②结合函数草图可知存在时，，
此时，，，
则，当时取等号．
故答案为：①；②.
五、解答题
17．已知，，．
(1)当时，求；
(2)在“①”；“②”；“③”这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若______，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)选择①，；选择②，；选择③，．
【分析】（1）解二次不等式与分式不等式化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；
（2）利用集合交集或并集的结果可求得参数的取值范围.
【详解】（1）因为，
，
，
所以当时，，
则，；
（2）选择①，
由可得，则，即，实数的取值范围是；
选择②，
由，可得，即，实数的取值范围是；
选择③，
由，可得，即，实数的取值范围是．
18．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)6
【分析】（1）利用对数的运算法则求解即可；
（2）利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式．
19．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）（2）0或．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
（2）由平方关系求出，从而求出，即可得到
【详解】（1）由，所以；
（2）由，，可得，
即，则或，
当时，，则；
当时，，则；
所以或．
20．如图，用面积的铁皮制作一个长为，宽为，高为的无盖盒子．制作要求如下：①铁皮全部用完，且不计拼接用料；②．
(1)求的取值范围；
(2)当，分别为多少时，箱子的容积最大，并求出最大值．
【答案】(1)；
(2)，，容积最大值．
【分析】（1）根据长方体的表面积公式列出等式，用表示，即可求解；
（2）应用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由铁皮面积为，可得，
则，，
由，可得，由，
可得，
即，，
则，，则；
的取值范围是；
（2），由，，可得，
由，则，
即，即，
则即，
当且仅当即，时等号成立，的最大值为100，
则当，时，箱子的容积最大，最大值为．
21．已知关于的不等式解集为A．
(1)若，求的值；
(2)当时，求A．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）-2，-1为两根，由韦达定理求出答案；
（2），分，和，得到解集.
【详解】（1）由题意可得-2，-1为两根，
则，，解得，；
（2）时，不等式即，即；
当时，不等式即，解得，；
当时，，解得或，；
当时，
①即时，解得，；
②即时，，解得，；
③即时，解得，解得；
综上，时，；
时，；
时，；
时，；
时，
22．已知是定义在上的奇函数，且．
(1)求和的值；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)求证：的值域为．
【答案】(1)，；
(2)在上为增函数，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数的奇偶性可求得的值，利用即可求得b，即得答案；
（2）判断在上为增函数，利用函数单调性定义即可证明；
（3）对任意，令，即，结合零点存在定理说明存在，满足，即可证明结论.
【详解】（1）由为上的奇函数，可得时，
即，即时，则；
由，则，则，
则，；
（2）在上为增函数，证明如下：
对任意，不妨设，
则，
由，可得，，，，
故，则，
则在上为增函数；
（3）当时，，
对任意，考虑，即，即，
今，则，，图象在不间断，
则存在，满足，即，
则在值域内，则的值域为．