2023-2024学年江西省抚州市一中高一上学期期中考数学含答案

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1．全卷满分150分，考试时间120分钟．
2．全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由交集，补集的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】，所以．
故选：C
2. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数是定义在R上的奇函数，可得，再代入解析式求解即可.
【详解】因为时，，所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，
所以．
故选：B
3. 已知命题p：对任意的，都有，则命题p的否定是（）
A. 对任意的，都有B. 存在，使得
C. 对任意的，都有D. 存在，使得
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由全称命题的否定时特称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题p：对任意的，都有，
则其否定为：存在，使得.
故选：B
4. 已知函数，分别由下表给出，则函数的值域是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义计算函数值后可得．
【详解】，，．
值域为，
故选：A．
5. 有的科学计算器无法直接计算很大的数，我们可以设计一下计算方法，以便利用这些科学计算器进行近似计算．利用计算器计算得到，，则当时，函数的函数值的近似值是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题干，利用指数运算性质化简求值即可.
【详解】当时，.
故选：D.
6. 函数的单调递减区间是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案.
【详解】解析：，作出图象，
可以得到函数的单调递减区间是．
故选：B.
7. 两次购买同一种物品，可以采用两种不同的策略：第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定．若两次单价不同，从平均价格的角度来看，则下列判断正确的是（）
A. 第一种策略更省钱
B. 若降价，第一种策略更省钱；若涨价，第二种策略更省钱
C. 第二种策略更省钱
D. 若降价，第二种策略更省钱；若涨价，第一种策略更省钱
【答案】A
【解析】
【分析】根据策略，列出两种的平均价格，利用基本不等式作比较，得出结论.
【详解】设第一次购买的单价为，第二次购买的单价为，且．
第一种策略，设每次购买的钱数为x，则平均价格为，
第二种策略，设每次购买的数量为y，则平均价格为．
因为，且，所以，
所以第一种策略更省钱．
故选：A.
8. 已知函数，不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定出分段函数的单调性，由单调性确定不等式的解，再根据恒成立得结论．
【详解】是减函数，也是减函数，时，，所以在上是减函数，
因此不等式等价于，即，因此有．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合，则下列对象是集合A的元素的是（）
A. B. C. 4D. 6
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，将集合化简，即可得到结果.
【详解】因为方程的两根分别为，
即
故选：BCD
10. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，当时，，则下列选项正确的是（）
A. B.
C. 为R上的减函数D. 为偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】令即可判断A；由递推关系判断B；利用单调性定义判断C；令代入已知递推式，结合奇偶性定义判断D.
【详解】令得，故A正确；
，故B正确；
设，则，
所以，故C正确；
令，则，所以是奇函数，故D错误．
故选：ABC
11. 如图，一高为且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出．如图，在某时刻，水面的高度为，水面对应圆的直径为，则下列说法正确的是（）
A. 是的函数B. 是的函数
C. 是的函数D. 是的函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析、、之间的关系，结合函数的定义判断即可.
【详解】对于每个时间，都有唯一的与之对应，所以A，B正确；
对于每个，根据对称性，有两个与之对应，所以C错误；
对于每个，有唯一的与之对应，所以D正确．
故选：ABD
12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意的，（），总有，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数特称分析出在R上的单调性，利用单调性比较大小，得到结论.
【详解】对任意的，（），总有，
即，则为区间上的减函数
因此函数在区间上单调递减，又因为函数是定义在R上的奇函数，
可以得到函数在R上单调递减．
因为是增函数，所以，故选项A错误；
因为是减函数，所以，故选项B错误；
因为，所以，故选项C正确；
因为，所以，故选项D正确．
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】列出使表达式有意义的的取值范围.
【详解】函数的定义域是：，解得：且
函数定义域是且.
故答案为且
【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型.
14. 已知函数，则____
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，代入函数解析式计算，即可得到结果.
【详解】．
故答案为：
15. 若关于的一元二次方程有实数根且，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合函数图象有交点问题求解即可.
【详解】
函数的图象是顶点为，开口向下的抛物线，
直线与其有两个交点，且满足条件，得到．
故答案为：.
16. 已知，，且，不等式恒成立，则实数m的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】设，，则，且，
因此，
当时能取得等号，因此．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，，化简：．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数运算可得.
【详解】因为，所以，
．
因为，所以
所以
所以．
18. 已知幂函数，的图象分别过点，．
（1）求函数，的解析式；
（2）写出不等式的解集．（不需要说明理由，直接写结果）
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的解析式，代入点，可得答案；
（2）根据（1）作图，结合图象，可得答案.
【小问1详解】
设，，由条件，得
，即，
，即．
【小问2详解】
在同一坐标系中，作出函数，的图象，
观察得到不等式的解集是．
19. 已知集合，．
（1）若，求集合；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求集合，再结合交集运算求解；
（2）由题意可得，结合真子集关系分析求解.
【小问1详解】
集合，
集合．
当时，，
所以．
【小问2详解】
因为“”是“”必要不充分条件，即，
所以，所以实数m的取值范围为．
20. 已知（）．
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若，且对任意的，都存在，使得，求实数a的值．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集的端点为对应的一元二次方程的根求出参数代入求解即可；
（2）对参数分成不同情况，使得等式有解，依次求出参数即可.
【小问1详解】
不等式的解集为，
即方程的两根是和2，即，解得，
所以不等式可化，
即，
所以解集为．
【小问2详解】
因为，所以，
设，，
①当时，此时在单调递增且恒成立，
所以对任意的，都存在，使得，
即有解，
因为，所以，而，
所以，即，
因为，所以，即，
解得或（舍去）；
②当时的最小值为，
令，这时，此时对任意都不成立；
③当时，此时在单调递减且恒成立，
所以对任意的，都存在，使得，
即有解，
而，所以，而，
所以，即
因为，所以，所以
解得（舍去）或．
综上，实数或．
21. 建筑设计师需要设计如图所示的窗户，现要求满足：
①是矩形且；
②建立如图直角坐标系后，曲线是二次函数图象的一部分．记边的长为，点到边的距离为（单位：）．
（1）求函数的解析式，并写出其定义域；
（2）为何值时，最小，并求的最小值．
【答案】（1），；
（2）m时，取最小值，最小值是．
【解析】
【分析】（1）根据函数过点，得出点的纵坐标，结合的长，即可求解；
（2）借助基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以点的横坐标为，
设，将点代入，得，因此点的纵坐标是，
又边的长为，
所以，
由得，，所以定义域为；
【小问2详解】
，
当且仅当即m时，上式取等号，
即m时，取最小值，最小值是．
22. 定义：若将函数的图象平移可以得到函数的图象，则称函数，互为“平行函数”．已知，互为“平行函数”．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）求实数a的值；
（3）求由函数的图象、函数的图象及y轴围成的封闭图形的面积．
【答案】（1）在R上单调递增，证明见解析
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明；
（2）利用函数图象的变换关系求解；
（3）利用奇函数的对称性求解.
【小问1详解】
因为，所以在上单调递增．
证明：设，则．
因为，所以，即，且，，
所以，所以，
即函数R上单调递增．
【小问2详解】
因为，
，
而通过平移变换可以得到，所以．
此时，，
可由函数的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位得到，满足题意.
【小问3详解】
由（2）知，
所以的图象是由的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度而得．
因为是奇函数，图象关于中心对称，所以的图象关于点中心对称．
，的图象与y轴交点为，其关于点的对称点为，
由图象可以得到，
封闭图形的面积为长为2，宽为1的矩形面积的一半，
所以．
x
1
2
3
1
3
1
x
1
2
3
3
2
1