2023-2024学年福建省莆田市五校联盟高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市五校联盟高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依次判断每个选项：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数，得到答案.
【详解】根据图像观察知：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数
故选：
【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.
2．命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】按照全称命题的否定的写法书写即可.
【详解】根据全称命题的否定的写法得到：命题“，”的否定是，.
故答案为D.
【点睛】本题考查了全称命题的否定的写法，满足:换量词，否结论，不变条件，这几点要求，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
3．已知：正整数能被6整除，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分析出命题表示正整数能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之不成立，即可得到答案.
【详解】由题知在命题表示正整数能被3整除，
而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者，
而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者，
故是的充分不必要条件.
故选：A.
4．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】根据自恋数的定义可得集合，再根据交集的定义求出，从而可得答案.
【详解】解：依题意，，，
故，故的子集个数为8．
故选：D．
5．已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或B．或C．D．3或或2
【答案】B
【分析】根据题意，需要对进行分类讨论，若，则；若，则，进而求得结果.
【详解】（ⅰ）若，则，
，（舍去）；
（ⅱ）若，则
.
综上，或.
故选B.
【点睛】本题考查分段函数的求值问题，关键是要对进行分类讨论.
6．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：根据时的函数值即可得解.
法二：根据函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，即可得解.
【详解】法一：当时，，只有B选项符合.
法二：，
则函数的图象是由函数先向右平移个单位长度，
再向上平移一个单位长度得到的，只有B选项符合.
故选：B.
7．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（ ）
A．大于10gB．大于等于10gC．小于10gD．小于等于10g
【答案】A
【解析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
【详解】解：由于天平两臂不等长，
可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即，
因此，顾客购得的黄金大于.
故选：A.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值从而解决实际问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
8．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.
方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.
方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.
【详解】［方法一］：特殊函数法
由题意，不妨设，因为，
所以，化简得．
故选：D.
［方法二］：【最优解】特殊值法
假设可取，则有，
又因为，所以与矛盾，
故不是不等式的解，于是排除A、B、C．
故选：D.
［方法三］：直接法
根据题意，为奇函数，若，则，
因为在单调递减，且，
所以，即有：，
解可得：.
故选：D.
【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；
方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；
方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．
二、多选题
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由不等式性质判断A、C、D，特殊值判断B即可.
【详解】由，则，即，，故A、C、D正确；
当时，故B错误.
故选：ACD
10．已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为RB．的值域为
C．若，则x的值是D．的解集为
【答案】BC
【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.
【详解】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．
故选：BC．
11．下列命题中，为假命题的是（ ）
A．，都有B．函数的最小值为2
C．对任意非零实数，，都有D．，使得
【答案】ABC
【分析】取特值判断选项A，C；利用对勾函数性质求出最小值判断B；利用存在量词命题真假判断方法判断D作答.
【详解】对于A，当时，不等式不成立，A是假命题；
对于B，原函数化为，令，显然函数在上单调递增，
因此当，即时，，B是假命题；
对于C，当实数，异号时，，C是假命题；
对于D，当时，，即，使得，D是真命题.
故选：ABC
12．定义在R上的函数若满足：①，，都有﹔②对任意x，都有，则称函数为“轴对称函数”，其中称为函数的对称轴．已知函数是以为对称轴的“轴对称函数”，则使得不等式成立的m的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】BC
【分析】根据已知条件求得为偶函数，结合其单调性，求解不等式即可求得参数范围.
【详解】函数是以为对称轴的“轴对称函数”，
则以为对称轴的函数，即函数是偶函数，
又在上是增函数，
不等式，故，解得，
故选：BC．
三、填空题
13．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
14．函数的零点为 ．
【答案】1和3
【分析】由题意，根据零点的定义，列方程，可得答案.
【详解】由题意，，，解得或，故函数的零点为和.
故答案为：和.
15．已知一次函数满足，则的解析式为 ．
【答案】或
【解析】设一次函数,代入中,利用待定系数法求得,即可得到解析式
【详解】设,
则,
所以,
解得或
所以或
故答案为：或
【点睛】本题考查已知函数形式求函数解析式,属于基础题
16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
因为恒成立，所以，.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合.
(1)求；
(2)设集合，若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求函数定义域得集合，解不等式得集合，然后由集合的运算法则计算；
（2）由得，然后由集合的包含关系求解．
【详解】（1）由得或，所以或，
由得，解得，所以，
，所以；
（2）因为，所以，
所以或，解得或．
18．已知函数．
(1)在同一坐标系中画出函数，的图象；
(2)定义：对，表示与中的较小者，记为，分别用函数图象法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）．
【答案】(1)画图见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）直接作图即可；
（2）根据的定义作出图象，结合图象求出的解析式，即可求出的单调区间和值域.
【详解】（1）如图所示：
（2）函数的图像如图所示：
解析式为＝，
函数单调增区间为和；
单调减区间为和，值域为．
19．已知不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)为何值时，的解集为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由一元二次不等式解集的端点就是一元二次方程的根，可以列出关于的方程组，求解即可.
（2）当时，若不等式的解集为，则需满足，然后解不等式即可.
【详解】（1）不等式的解集为或，
所以1和是方程的实数根，
方程可化为，
由根与系数的关系知，，
解得.
（2）由（1）知：不等式为，
令，解得，
所以当时，不等式的解集为．
20．已知函数，且，．
(1)求实数的值；
(2)若函数，求的最小值并指出此时的取值．
【答案】(1)
(2)的最小值为，此时
【分析】（1）根据条件建立方程组求解即可；
（2） 的解析式可变形为，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，且，，
所以，解得；
（2）由（1）可得，
所以
因为，
所以，当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为，此时.
21．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始时，学生注意力集中度的值（的值越大，表示学生的注意力越集中）与x的关系如下：
(1)讲课开始时和讲课开始时比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？
(3)一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.
【答案】(1)讲课开始后5min学生注意力更集中
(2)开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）由题意得，，即可得到答案；
（2）分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出；
（3）分别求解当和时，不等式的解集，求出满足条件的时长，即可得到结论.
【详解】（1）由题意得，，
所以讲课开始后5min学生注意力更集中.
（2）当时，，
在时单调递增，最大值为．
当时，；当时，函数为减函数，且．
因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟．
（3）当时，令，解得或20（舍去）；
当时，令，解得，
可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间，
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
22．已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求实数，的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）在上递增，证明见解析；（3）或．
【分析】（1）利用奇函数的性质可求得,再由的值，可求得.（2）用定义法证明即可.（3）由题意可得，函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，从而得解.
【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，所以，所以
，
所以，经检验，该函数为奇函数．
故，.
（2）在上递增，证明如下：任取，
其中，，所以，
故在上递增．
（3）由于对任意的，总存在，使得成立，
所以的值域为的值域的子集．
而由（2）知：，
当时，在上递增，，所以，即；
当时，在上递减，，所以，即．
综上所述，或．
故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或．