2023-2024学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D
2．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由偶次根式和分式函数的定义域可得答案.
【详解】要使函数有意义，必须有解之得且，
则函数的定义域为．
故选：D．
3．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（ ）
A．1B．2C．1或2D．3
【答案】C
【分析】结合函数关系图形即可得到答案.
【详解】由图可知，若，则或2.
故选：C.
4．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递减”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合单调性的概念，通过举反例推出必要性不成立即可得答案.
【详解】若函数在上单调递减，则函数在上的最大值为，充分性成立；函数在上的最大值为，则不一定有函数在上单调递减，如在上不单调，最大值为，必要性不成立．
故选：A．
5．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，若，，可得，故C正确；
对于D，若，，，则，故D错误.
故选：C．
6．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【分析】根据以及可求出结果.
【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以．
而，∴．
故选：C．
7．设为正数，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意为正数，且，
则
，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为2，
故选：A
8．已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【分析】根据幂函数经过的点可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设
，令，
由于在区间上单调递增，在上单调递减，
在区间上的最大值是.
故选：C.
二、多选题
9．下列各式的值相等的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】BC
【分析】根据分数指数幂与根式之间的关系，以及负分数指数幂与正分数指数幂的关系即可求解.
【详解】对于A，，，不符合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，符合题意；
对于D，，，不符合题意．
故选:BC．
10．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】ABC
【分析】先求出集合B的补集，再由，可得，从而可求出的取值范围，进而可求得答案
【详解】由题意得，，∴，
∵，
∴，∴，解得.
故选：ABC.
11．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】AD可举例排除，BC利用基本不等式来判断..
【详解】解：A.当时，，不成立；
B.由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，成立；
C.由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，成立；
D.当时，，不成立；
故选：BC.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，是基础题.
12．在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项
【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，
所以的图象关于原点对称，
则，
所以，故错误,正确；
所以对任意，都有，故正确；
在中令得
，且，
所以，故正确.
故选:BCD.
三、填空题
13．命题“”的否定是 ．
【答案】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案.
【详解】命题“”的否定为“”．
故答案为：.
14．已知且，则 .
【答案】/
【分析】由已知条件消去未知数即可.
【详解】由于
所以
故答案为：.
15．若，则f(x)＝ .
【答案】且
【分析】换元法求函数的解析式，同时注意定义域问题.
【详解】令，则，
因为，所以，
又且，所以且，
所以且，
故答案为：且
16．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为 .
【答案】
【解析】由题意可得，从而可得答案.
【详解】由于一元二次不等式的解集为
则,解得
故答案为：1
四、解答题
17．已知集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用，找到不等式组，求出实数的取值范围即可；
（2）在满足的前提下，对分空集和不是空集分类讨论即可.
【详解】（1）因为，所以解得，
即实数的取值范围是．
（2）若，即，此时，满足；
若，即，因为，
所以，或，解得．
综上，实数的取值范围是．
18．已知函数．

(1)用分段函数的形式表示该函数并画出该函数的图象；
(2)写出此函数的单调区间（不需要写过程）．
【答案】(1)，作图见解析
(2)单调递减区间为，无单调递增区间．
【分析】（1）利用三段法写出分段函数形式，并画出函数图象；
（2）数形结合得到函数的单调区间.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
所以，
画出函数图象如下：

（2）由函数的图象可知，函数的单调递减区间为，无单调递增区间．
19．已知函数．
(1)判断的奇偶性，并用定义证明；
(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
【答案】(1)是偶函数，证明见解析
(2)在区间在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解.
【详解】（1）函数是偶函数.
证明如下：
由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，即，
所以是定义域上的偶函数.
（2）函数在区间在上单调递减.
证明如下：
设，
则
．
因为，可得，
所以，即，
所以在区间上单调递减函数.
20．已知.
(1)当时，若同时成立，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可；
（2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求.
【详解】（1）当时，，即，
，即，
若同时成立，则，
即实数的取值范围为.
（2）由（1）知，，
，
即，
①当时，，
若是的充分不必要条件，则，解得；
②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
21．紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额（单位：万元）.
(1)求总利润（单位：万元）关于产量（单位：千件）的函数关系式；（总利润总销售额成本）
(2)当产量为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值.
【答案】(1)
(2)当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元
【分析】（1）根据题意，由总利润总销售额成本即可得到函数关系式；
（2）根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
当时，，
（2）当时，（万元）.
当时，（万元），当且仅当时等号成立，
又为整数，所以此时（万元）.
综上，当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元.
22．已知函数，．
(1)若是关于的方程的一个实数根，求函数的值域；
(2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入方程即可求得，利用二次函数性质即可得值域为；
（2）根据题意只需满足即可，对参数进行分类讨论即可求得实数的取值范围是.
【详解】（1）由是关于的方程的一个实数根，可得,
即，解得；
所以，由二次函数性质可得；
即可得函数的值域为；
（2）根据题意可知，需满足；
当时，由二次函数性质可知；
当时，若时，；
可得，解得，所以；
当时，，
可得，解得或，所以；
当时，，
可得，解得，所以；
综上可得实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：对于求解双变量不等式恒（能）成立问题时，关键在于将不等式转化为求解函数最大值或最小值的问题，再通过解不等式即可求出实数的取值范围．