2023-2024学年广东省广州九十七中高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州九十七中高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则
A．（1,2）B．（1,2]C．（-2,1）D．[-2,1)
【答案】D
【详解】由得，由得，
故，选D.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2．以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析各选项中函数的奇偶性和单调性，再判断作答.
【详解】对于A，函数是R上的奇函数，也是减函数，A是；
对于B，函数是R上的奇函数，是增函数，B不是；
对于C，函数是R上的增函数，不具奇偶性，C不是；
对于D，函数是上的增函数，不具奇偶性，D不是.
故选：A
3．已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
4．命题“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】D
【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【解析】全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6．设，，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】通过同底数幂相乘，可以求得的值.
【详解】∵，，∴，
∴，
故选：B
7．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
8．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由想到构造函数，可证为偶函数且在上为增函数，结合偶函数的对称性解不等式即可求解.
【详解】令，因为函数的图象的对称中心是,函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以是偶函数，因为，所以，则，
因为对任意且时，
，
所以在上单调递增，
所以在上单调递减，
等价于或，
解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．函数表示幂函数
C．若表示递增的幂函数，则
D．幂函数的图像都过点，
【答案】AC
【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；
对于B，函数不是幂函数，B错误；
对于C，是幂函数，则，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意，
当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；
对于D，幂函数不过点，D错误.
故选：AC
10．设，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由不等式的性质，的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.
【详解】A：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即，正确；
B：因为在定义域内为增函数，由题意知，故有，正确；
C：当时，，故错误；
D：当时，，故错误；
故选：AB.
11．下列说法正确的是（）
A．若不等式的解集为，则
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．当时，的最小值是5
D．函数（，）过定点
【答案】AD
【详解】对于A，因为不等式的解集为，
所以是的两根，且，
则，解得，则，故A正确；
对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误；
对于C，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，显然等号不成立，故C错误；
对于D，令，则，所以，所以函数过定点，故D正确.
故选：AD.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数B．是奇函数
C．的值域是D．的值域是
【答案】BC
【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.
【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，
且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C错误，D正确.
故选：BC
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】/
【分析】判断并计算，再判断计算作答.
【详解】函数，则，
所以.
故答案为：
14．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ．
【答案】
【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
15．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据命题为假，得到，解得答案.
【详解】命题“，”是假命题，故，
解得或.
故答案为：.
16．已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】构造函数，证明函数为奇函数，据此利用奇偶函数性质求解.
【详解】由，
令，，
则，
所以函数为奇函数，
则，解得，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．（1）计算：
（2）计算：．
【答案】（1）（2）6
【分析】（1）根据指数幂的运算性质及根式与指数的互化求解；
（2）根据对数的运算化简求解.
【详解】（1）
（2）
18．设或.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）依题意可得，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，对分两种情况讨论，与，分别求出参数的取值范围，最后再取并集；
【详解】解：（1）∵，∴，解得，故实数的取值范围是
（2）依题意，
当时，，解得，满足
当时，由，解得或
综上可得，所求实数的取值范围是或
【点睛】本题考查必要不充分条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
19．已知函数．
(1)画出的图象；
(2)根据图象写出函数的单调区间；
(3)求的解集．
【答案】(1)见解析
(2)函数的单调递减区间为，单调递增区间为
(3)
【分析】（1）去掉绝对值转化为分段函数，作出图象即可；
（2）由图象直接写出单调区间即可；
（3）根据分段函数解不等式求解即可.
【详解】（1）当时，；
当时，；
当时，
故，
故函数图象如图，
（2）由图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）由解析式，当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则.
综上，不等式的解集为
20．年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出年的利润万元关于年产量千部的表达式
(2)年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少
【答案】(1)；
(2)年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式；
（2）分别求出在和上的最大值即可得出结论．
【详解】（1）当时，
，
当时，，
；
（2）若，，
当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
21．已知函数，其中为自然对数的底数，．
(1)若0是函数的一个零点，求的值；
(2)当时，，，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用函数零点的意义，代入计算作答.
（2）根据给定条件，分离参数构造函数，再借助二次函数求出最值作答.
【详解】（1）因为0是函数的一个零点，因此，
所以.
（2）当时，，
不等式，
而当时，，于是，
因此，，
又，当且仅当，即时取等号，则，
所以实数的取值范围是.
22．已知，，函数．
(1)若，求函数的定义域，并判断是否在在使得是奇函数，说明理由；
(2)若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)；且
【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；
（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为，
假设为奇函数，则，
而，则，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数为奇函数；
（2）图像经过点，则代入得，解得，
所以，定义域为，
令，则的图像与轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
则代入可得，解得或.
由题意得，所以实数的取值范围且.