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2023-2024学年安徽省阜阳市第三中学高一上学期12月二调（期中）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年安徽省阜阳市第三中学高一上学期12月二调（期中）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，声强级，已知函数分别由下表给出，且，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版必修一第一章至第四章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“为真命题”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），则此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数分别由下表给出，且，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.不等式的解集为
C.
D.的最小值为-4
10.小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数且，则下列命题为真命题的是（ ）
A.时，的增区间为
B.是值域为的充要条件
C.存在，使得为奇函数或偶函数
D.当时，的定义域不可能为
12.已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
A.函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是
B.函数不是回旋函数
C.若函数为回旋函数，则
D.函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点
三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数的定义域为，则函数的定义域为__________.
14.已知函数满足：，且对任意的非零实数，都有成立，.若，则__________.
15.已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.
16.已知函数，若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值集合为__________.
四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）若，求的值；
（2）求.
18.（12分）
已知命题“”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）关于的不等式组的解集为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
19.（12分）
已知幂函数的图象关于原点对称，且在上为增函数.
（1）求表达式；
（2）解不等式：.
20.（12 分）
近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）（）的函数关系满足，日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
（1）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.
21.（12分）
已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围.
22.（12分）
若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.
（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.
15
20
25
30
105
110
105
100
阜阳三中2023~2024学年度高一年级第一学期二调考试·数学
参考答案､解析及评分细则
1.C 由题意可知，则.故选C.
2.B 由“为真命题”得，解得，所以“”是“为真命题”的必要不充分条件.故选B.
3.A 函数，定义域为，所以函数为奇函数，排除；当时，，排除.故选.
4.B 由题意，，则，所以，当时，即，则，当时，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确.故选B.
5.A 由，得，所以.故选A.
6.A 设，定义域为，因为是定义在上的奇函数，所以，所以为奇函数，又因为对于任意，都有成立，即对于任意，都有成立，即成立，即在为增函数；因为，所以，又因为为奇函数，所以在为增函数，且，.故选A.
7.C 当时，值域为当时，由，得，由，得，解得或，作出图象，由图象可得：，即实数的取值范围是.故选C.
8.D 有四个不同的零点，即和有四个交点，它们的横坐标分别为，画出函数和的图象，根据图象可知和是和的交点横坐标，即方程的两根，所以是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，故有，得到，由，可得，令，令，则在上单调递减，所以，故，即所求式子的取值范围是.故选D.
9.AB 关于的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向下，即，故A正确；且方程的两根为，由韦达定理得，解得.对于，因为，所以，即，所以，解得，所以不等式的解集为，故B正确；对于C，，故C错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，与矛盾，所以，取不到最小值一.故选AB.
10.BC 依题意，设两次花费的钱数均为，则两次购物的平均价格为，故A错误，B正确；又，所以，根据基本不等式可得，即，故C正确，D错误.故选BC.
11.ABD 当时，在上单调递增，故A正确；当可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为，此时（舍去），是值域为的充要条件，故B正确；的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，定义域都是无限集.要使为偶函数，则，于是，即对定义域内的实数恒成立，，但此时对数的底数为零，无意义；要使为奇函数，则，即，于是，即，该式不能恒成立.综上，错误；的解集为，等价于，即，所以当时，的定义域不可能为，故D正确.故选ABD.
12.ABD 函数（其中为常数，）是定义在上的连续函数，且，当时，对于任意的实数恒成立，若对任意实数恒成立，则，解得：，故函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是-1，故A正确；若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有0，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故B正确；在上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，故C错误；由题意得：，令得：，所以与异号，或，当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间，上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，当时，有，此时在上有1012个零点，综上所以在上至少有1011个零点，故D正确.故选ABD.
13. 函数的定义域为，得，解得，所以函数的定义域为.
14.-2 由题意可得，，又，所以，而，可得.
15.6 易知在上单调递增，因为，所以是上的奇函数，且在上单调递增，又已知，所以，即1，所以，当且仅当时取等号.
16. ；当时，，此时无解，不合题意；当时，设，则与的大致图象如图1所示，则对应的两根为，此时与无解，即方程无解，不合题意；当时，设，则与的大致图象如图2所示，则对应的两根为，若恰有三个实数解，则和与共有3个不同的交点，①当时，与有两个不同交点，如图3所示，与有且仅有一个交点，则，解得：；②当时，与有两个不同交点，与有且仅有一个交点，则，与矛盾，不合题意；③当时，与有两个不同交点，如图4所示，与有且仅有一个交点，则，解得：；综上所述：实数的取值集合为.
17.解：（1）.
（2）
.
18.解：（1）因为命题“”是真命题，
所以方程有实根，则有，解得，
所以实数的取值集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当即时，不等式组无解，所以，满足题意；
当即时，不等式组的解集为，
由题意是的真子集，所以，所以.
综上，满足题意的的取值范围是或.
19.解：（1），解得或，
在上为增函数，不成立，即，
.
（2）的定义域为，且为奇函数，
即，
又因为为奇函数，所以，
因为在上为增函数，
所以，即，
所以，则，解得：，
又因为，解得：.
综上：.
20.解：（1）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
因为的图象关于对称，且，
所以由（25）可得：，由可得：，
所以，
所以，
所以日销售量与时间的变化关系为.
（2）由（1）知
所以
即.
当时，由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立.
当时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
21.解：（1）因为函数是偶函数，
所以，即，
所以，
即，
所以，得.
（2）函数有2个零点，即关于的方程有2个不相等的实数根，
化简上述方程得，
即，
所以，
所以.
令，得关于的方程.
记.
①当时，函数的图象开口向上，图象恒过点，方程只有一个正实根，不符合题意.
②当时，函数的图象开口向下，图象恒过点，因为，要满足题意，则方程应有两个正实根，即，解得或，又，所以.
综上，的取值范围是.
22.解：（1），
当时，，再由，
得，
，
故根据“阶自伴函数”定义得，
不是区间上的“阶自伴函数”.
（2）由题知为区间上的“1阶自伴函数”，
则任意，总存在唯一的，使，
，
则只需使成立即可，
单调递增，
，
因为任意，总存在唯一的，使成立，
即，
则，
即，即，
故.
（3）由题是在区间上的“2阶伴随函数”，
即任意，总存在唯一的，使成立，
即成立，
即在的值域是在的值域的子集，且值域所对应的自变量唯一，
，
，
，
对称轴为，
①时，在上单调递增，
只需，即，解得：，
②时，在上单调递减，
只需，即，解得：，
③时，在上单调递减，单调递增，
只需，即，
解得：，
④时，在上单调递减，单调递增，
只需，即，解得：，
⑤时不满足唯一，故舍，
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版必修一第一章至第四章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“为真命题”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），则此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数分别由下表给出，且，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.不等式的解集为
C.
D.的最小值为-4
10.小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数且，则下列命题为真命题的是（ ）
A.时，的增区间为
B.是值域为的充要条件
C.存在，使得为奇函数或偶函数
D.当时，的定义域不可能为
12.已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
A.函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是
B.函数不是回旋函数
C.若函数为回旋函数，则
D.函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点
三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数的定义域为，则函数的定义域为__________.
14.已知函数满足：，且对任意的非零实数，都有成立，.若，则__________.
15.已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.
16.已知函数，若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值集合为__________.
四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）若，求的值；
（2）求.
18.（12分）
已知命题“”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）关于的不等式组的解集为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
19.（12分）
已知幂函数的图象关于原点对称，且在上为增函数.
（1）求表达式；
（2）解不等式：.
20.（12 分）
近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）（）的函数关系满足，日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
（1）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.
21.（12分）
已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）函数且，函数有2个零点，求实数的取值范围.
22.（12分）
若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.
（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.
15
20
25
30
105
110
105
100
阜阳三中2023~2024学年度高一年级第一学期二调考试·数学
参考答案､解析及评分细则
1.C 由题意可知，则.故选C.
2.B 由“为真命题”得，解得，所以“”是“为真命题”的必要不充分条件.故选B.
3.A 函数，定义域为，所以函数为奇函数，排除；当时，，排除.故选.
4.B 由题意，，则，所以，当时，即，则，当时，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确.故选B.
5.A 由，得，所以.故选A.
6.A 设，定义域为，因为是定义在上的奇函数，所以，所以为奇函数，又因为对于任意，都有成立，即对于任意，都有成立，即成立，即在为增函数；因为，所以，又因为为奇函数，所以在为增函数，且，.故选A.
7.C 当时，值域为当时，由，得，由，得，解得或，作出图象，由图象可得：，即实数的取值范围是.故选C.
8.D 有四个不同的零点，即和有四个交点，它们的横坐标分别为，画出函数和的图象，根据图象可知和是和的交点横坐标，即方程的两根，所以是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，故有，得到，由，可得，令，令，则在上单调递减，所以，故，即所求式子的取值范围是.故选D.
9.AB 关于的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向下，即，故A正确；且方程的两根为，由韦达定理得，解得.对于，因为，所以，即，所以，解得，所以不等式的解集为，故B正确；对于C，，故C错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，与矛盾，所以，取不到最小值一.故选AB.
10.BC 依题意，设两次花费的钱数均为，则两次购物的平均价格为，故A错误，B正确；又，所以，根据基本不等式可得，即，故C正确，D错误.故选BC.
11.ABD 当时，在上单调递增，故A正确；当可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为，此时（舍去），是值域为的充要条件，故B正确；的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，定义域都是无限集.要使为偶函数，则，于是，即对定义域内的实数恒成立，，但此时对数的底数为零，无意义；要使为奇函数，则，即，于是，即，该式不能恒成立.综上，错误；的解集为，等价于，即，所以当时，的定义域不可能为，故D正确.故选ABD.
12.ABD 函数（其中为常数，）是定义在上的连续函数，且，当时，对于任意的实数恒成立，若对任意实数恒成立，则，解得：，故函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是-1，故A正确；若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有0，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故B正确；在上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，故C错误；由题意得：，令得：，所以与异号，或，当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间，上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，当时，有，此时在上有1012个零点，综上所以在上至少有1011个零点，故D正确.故选ABD.
13. 函数的定义域为，得，解得，所以函数的定义域为.
14.-2 由题意可得，，又，所以，而，可得.
15.6 易知在上单调递增，因为，所以是上的奇函数，且在上单调递增，又已知，所以，即1，所以，当且仅当时取等号.
16. ；当时，，此时无解，不合题意；当时，设，则与的大致图象如图1所示，则对应的两根为，此时与无解，即方程无解，不合题意；当时，设，则与的大致图象如图2所示，则对应的两根为，若恰有三个实数解，则和与共有3个不同的交点，①当时，与有两个不同交点，如图3所示，与有且仅有一个交点，则，解得：；②当时，与有两个不同交点，与有且仅有一个交点，则，与矛盾，不合题意；③当时，与有两个不同交点，如图4所示，与有且仅有一个交点，则，解得：；综上所述：实数的取值集合为.
17.解：（1）.
（2）
.
18.解：（1）因为命题“”是真命题，
所以方程有实根，则有，解得，
所以实数的取值集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当即时，不等式组无解，所以，满足题意；
当即时，不等式组的解集为，
由题意是的真子集，所以，所以.
综上，满足题意的的取值范围是或.
19.解：（1），解得或，
在上为增函数，不成立，即，
.
（2）的定义域为，且为奇函数，
即，
又因为为奇函数，所以，
因为在上为增函数，
所以，即，
所以，则，解得：，
又因为，解得：.
综上：.
20.解：（1）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
因为的图象关于对称，且，
所以由（25）可得：，由可得：，
所以，
所以，
所以日销售量与时间的变化关系为.
（2）由（1）知
所以
即.
当时，由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立.
当时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
21.解：（1）因为函数是偶函数，
所以，即，
所以，
即，
所以，得.
（2）函数有2个零点，即关于的方程有2个不相等的实数根，
化简上述方程得，
即，
所以，
所以.
令，得关于的方程.
记.
①当时，函数的图象开口向上，图象恒过点，方程只有一个正实根，不符合题意.
②当时，函数的图象开口向下，图象恒过点，因为，要满足题意，则方程应有两个正实根，即，解得或，又，所以.
综上，的取值范围是.
22.解：（1），
当时，，再由，
得，
，
故根据“阶自伴函数”定义得，
不是区间上的“阶自伴函数”.
（2）由题知为区间上的“1阶自伴函数”，
则任意，总存在唯一的，使，
，
则只需使成立即可，
单调递增，
，
因为任意，总存在唯一的，使成立，
即，
则，
即，即，
故.
（3）由题是在区间上的“2阶伴随函数”，
即任意，总存在唯一的，使成立，
即成立，
即在的值域是在的值域的子集，且值域所对应的自变量唯一，
，
，
，
对称轴为，
①时，在上单调递增，
只需，即，解得：，
②时，在上单调递减，
只需，即，解得：，
③时，在上单调递减，单调递增，
只需，即，
解得：，
④时，在上单调递减，单调递增，
只需，即，解得：，
⑤时不满足唯一，故舍，
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