2023-2024学年广西南宁市广西大学附属中学高一上学期期中段考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西南宁市广西大学附属中学高一上学期期中段考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合2，3，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的定义域，化简集合，根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，故选C．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, 不能得到，比如，故错误，
对于B，若，不能得到，比如，故错误，
对于C，若，不能得到，比如，故错误，
对于D，因为，所以，故正确，
故选：D
3．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同判断即可.
【详解】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.
对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；
对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，
所以表示相同的函数；
对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.
故选：C
4．下列各式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
5．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为，所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
6．两个正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】妙用“1”先求得的最小值为4，然后解不等式可得.
【详解】正实数，满足，
，
当且仅当且，即，时取等号，
不等式有解，
，解得或，即．
故选：C．
7．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于，而且这个比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果（ ）．
A．变坏了B．变好了C．不变D．无法判断
【答案】B
【分析】首先利用字母表示窗户面积与地板面积的比值，再利用作差法，即可比较大小.
【详解】设和分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，（面积单位都相同），
由题意得，，则，
因为，所以，又因为，则，
所以，即，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.
故选：B
8．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性、单调性分析运算即可得解.
【详解】解：∵奇函数在上为增函数，且，
∴在上为增函数，，
则不等式等价为不等式，即.
∴当时，，由函数在上为增函数，得：；
当时，，由函数在上为增函数，得：；
∴不等式的解集为.
故选：B.
二、多选题
9．下列哪个函数是其定义域上的偶函数（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】先求得函数定义域，根据偶函数的定义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：定义域为R，令，则，
所以为定义域上偶函数，故A正确；
对于B：定义域为R，令，则，
所以为定义域上偶函数，故B正确；
对于C：令，解得，定义域为，定义域关于原点对称，令，
则，
所以为定义域上偶函数，故C正确；
对于D：定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，故D错误.
故选：ABC
10．下列命题正确的是( )
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．命题“”的否定是“”
C．若“且”为真命题，则、均为真命题
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】ACD
【分析】根据逆否命题的定义判断A，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B，根据且命题的真假判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D.
【详解】对于A：命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；
对于B：命题“”的否定是“”，故B错误；
对于C：若“且”为真命题，则、均为真命题，故C正确；
对于D：由，即，解得或，
所以由能推出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确；
故选：ACD
11．下列结论正确的是（ ）
A．若为正实数，，则
B．若为正实数，，则
C．若，则“”是“”的充分不必要条件
D．的最小值为2
【答案】AC
【分析】选项A，根据条件，利用作差法即可得出判断；
选项B，通过取特殊值，即可判断出结果的正误；
选项C，根据充分条件和必要条件的判定方法，即可判断出结果的正误；
选项D，通过变形得到，再利用基本不等式即可作出判断.
【详解】对于选项A，因为，
又因为为正实数，，所以，故，所以选项A正确；
对于选项B，取，则，所以选项B错误；
对于选项C，因为，若，则，即，
若，则，故任取均满足，得不到，所以选项C正确；
对于选项D，因为，
当且仅当，即时取等号，此时，故，所以选项D错误.
故选：AC.
12．已知函数，则（ ）
A．
B．不等式解集为
C．方程有两个解
D．若且，则
【答案】CD
【分析】利用分段函数求函数值，直接可判断A选项；对于B、C、D，作的图象即可求解，
关于C，将方程解的个数问题可转化为图象交点的个数问题，关于D，注意图象对称性.
【详解】对于A：，∴，故A错误；
对于B、C、D：作的图象如下，
不等式解集为，故B错误；
，由图知，的图象与的图象有且仅有2个交点，
∴方程有两个解，故C正确；
令，图象与的图象相交于如图所示3点，
∵，解得，
∴，
易知的对称轴为，
∴，
∴，故D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．已知函数，则= .
【答案】1
【分析】根据给定的分段函数，分段代入计算即得.
【详解】函数，则，
所以.
故答案为：1
14．的值域是
【答案】
【分析】根据函数解析式，求得其定义域，结合值域的定义，可得答案.
【详解】由函数，则，解得，
所以函数的定义域为，由，则其值域为.
故答案为：.
15．函数满足对任意都有，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意知函数单调递增，根据分段函数单调递增需每段递增且在分界处函数值满足的关系列不等式组求解.
【详解】由可知函数在上单调递增，
所以，解得，
故答案为：
16．已知不等式的解集为A，的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，那么实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】计算得到，根据题意得到，设，得到
，计算能得到答案.
【详解】等式的解集为A，则，“”是“”的充分不必要条件，则.
设，则 解得
故答案为：
【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数，转化为是解题的关键.
四、解答题
17．设集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，
又因为，则.
（2）解：因为，则，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
因为，则，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
18．已知幂函数在上单调递减.
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值；
（2）由解不等式得出a的取值范围.
【详解】（1）解：由幂函数的定义可得，即，解得或.
因为在上单调递减，所以，即，
则.
（2）设，是R上的增函数.
由（1）可知，即，
则，解得，
即a的取值范围为.
19．已知定义在上的函数满足，且.
(1)求，的值；
(2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，代入可得，；
（2）根据单调性的定义由，，且，得可证函数在区间上单调递增.
【详解】（1）由题意可知，得，所有，
又得，得，
故，.
（2）由，得，
，，且，有
，
由于，
所以，，所有，即，
所以函数在区间上单调递增.
20．已知不等式的解集为或.
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式（其中c为实数）.
【答案】(1)，，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出、的值；
（2）不等式化为，然后分，和讨论即可求出不等式的解集．
【详解】（1）不等式的解集为，或，
所以1和是方程的解，
所以，解得；
由根与系数的关系知，解得；
所以，；.
（2）由（1）知，不等式为，
即，
当时，不等式化为，解得；
当时，解不等式得；
当时，若，即时，解不等式得或，若，即时，解不等式得，若，即，解不等式得或，
综上知，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或．
21．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值.
【答案】(1)16米；
(2)长为，宽为米时整个绿化面积最小；最小值为平方米.
【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）由题可表示出整个绿化面积，然后利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，
由面积均为400平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，
所以，所以，
解得，
又，所以，
所以宽的最大值为16米；
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立，此时米，
所以当草坪为长为米，宽为米的矩形时，整个绿化面积的最小，最小值为平方米.
22．已知二次函数.
(1)令，若函数的图象与轴无交点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数图象的特征，得到判别式即可得解；
（2）由给定条件可得在上的值域是在值域的子集，再结合二次函数与对勾函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
又函数的图像与轴无交点，则一元二次方程无实根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）因为“对任意的，总存在，使得”
等价于“在上的值域是在值域的子集”，
因为，开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，，
所以在上的值域为，
而对于，不妨取，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递减，又，，
则在上的值域为，
所以，则有，解得，
所以实数的取值范围为.