2023-2024学年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．梯形的边长构成集合A，则集合A中元素个数的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据梯形的特征分析即可.
【详解】因为梯形的四条边可以都不相等，所以集合中最多有4个元素.
故选：D.
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样.
【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确；
B：和是不同元素，故B错误；
C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误；
D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误.
故选：A
3．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由具体函数的定义域求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，
解得且，所以函数的定义域是.
故选：B.
4．若实数，，，满足，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质及举出反例逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，
因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，当时，，故CD错误.
故选：B.
5．函数，若，则实数的值为（ ）
A．B．－1或C．－3D．－3或－1
【答案】C
【分析】由题意分类讨论，，解方程即可得出答案.
【详解】当时，令，，与矛盾，不合题意；
当时，令，，取，符合題意.
故选：C.
6．若，.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用基本不等式确定必要性，举例子确定充分性，则答案可得.
【详解】当，时，，则当时，有，解得，必要性成立；
当，时，满足，但此时，充分性不成立.
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断.
【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；
又时，，排除选项C，故选项A正确.
故选：A.
8．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由， 得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可.
【详解】因为对任意，，所以，即，
构造函数，则，
所以函数是上的减函数.
当时，函数是上的减函数，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
当时，函数是上的减函数，符合题意；
当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得.
综上所述，实数的取值范围足，
故选：C.
二、多选题
9．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】BCD
【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，
故不是同一个函数；
对于B，由得，即的定义域为，
由得，即的定义域为，
结合，故是同一函数；
对于C，因为与的定义域、解析式相同，故是同一函数；
对于D，因为与（恒成立）的定义域、解析式相同，故是同一函数；
故选：BCD.
10．设集合，，若，则实数的取值可能为（ ）
A．－3B．0C．D．
【答案】ABC
【分析】根据集合的基本关系分类讨论即可.
【详解】易知，
∵，
∴.
若，则；
若，则，即；
若，则，即.
故选：ABC.
11．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
【答案】AB
【分析】根据解集结合函数与方程的思想，结合根与系数的关系求解.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，且关于的一元二次方程的两根分别为-1，2，
由韦达定理可得,
所以，
则，，A，B对，，而，取不到最小值，故无最小值.
， D错.
故选:AB.
12．取整函数：表示不超过的最大整数，如，，，则（ ）
A．，B．若,，，则
C．，，D．，
【答案】AD
【分析】根据取整函数的定义，即可结合选项逐一求解.
【详解】当时，，，A正确；
若，设，，则，，
∴，，从而，B错误；
取，，则，，C错误；
设，，则，，
∴ 或，
当时，，此时，，，
当时，，，，
，∴.D正确.
故选:AD.
三、填空题
13．已知集合，，若，则 .
【答案】0
【分析】由交集的结果，计算元素的值并检验.
【详解】因为集合，，，
则有或，解得或，
不满足集合元素的互异性，舍去，所以.
故答案为：0.
14．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】数形结合解分式不等式即可.
【详解】设，，
在同一个坐标系内作出和的图象，
两函数图象的交点为，，等价于，
由图可知，
故答案为：.

15．已知函数的图象如下图所示，现有下列四个结论：
①；
②；
③，；
④方程只有两个实根.
其中所有正确结论的序号是 .

【答案】①③
【分析】根据图像，可求得，可判断①；根据图中数据及在上的单调性，可判断②；分别讨论和两种情况，求得解析式，可判断③；根据图像带入方程可判断④.
【详解】对于①：由图象可得，当时，，所以，故①正确.
对于②：，且在上为单调递增函数，所以，所以，故②错误.
对于③：当时，，，，满足图象，
当时，，，，满足图象，故③正确.
对于④：由图易得满足方程，而，
故和满足方程，即该方程至少有3个实根，故④错误.
故答案为：①③.
16．已知函数的定义域，对任意的，都有，若在上单调递减.且对任意的恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断的单调性并求出最小值，再用赋值法判断的奇偶性，最后由单调性解不等式即可.
【详解】令，易知在上单调递增，
所以，所以.
在中，
令，得，令，得，
令，，得，
又的定义域，所以是偶函数，
因为在上单调递减，且，
所以由，得，
得，解得或，
故答案为：
【点睛】关键点睛：恒成立问题解决的关键是转化为最值问题，应用函数的奇偶性和单调性来解决.
四、解答题
17．设集合，，，.
(1)求，的值及A，；
(2)求.
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】（1）利用交集的结果可求得，的值，再计算集合A，即可；
（2）根据（1）的结果结合交、并集合运算即可.
【详解】（1）由题意可得，，则，
则或，即，
或，即，
则，满足题意.
综上所述，，，，；
（2）由可知，.
18．已知函数，集合.
(1)求的定义域；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数有意义，从而求出其定义域；
（2）根据“”是“”的充分不必要条件得出集合与集合间的关系，从而求解.
【详解】（1）由题意得
解之得：，
故集合的定义域为：.
故答案为：.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，
所以得：集合是集合的真子集，
所以得：或，
解之得：或，
故的取值范围为.
故答案为：.
19．已知幂函数，且在上是增函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可；
（2）利用幂函数的单调性去掉，结合函数定义域列不等式求解即可.
【详解】（1）由已知得， 解得或，
当时，，此时在上是减函数，不满足题意；
当时，，此时在上是增函数，满足题意；
所以；
（2）易知的定义域为，且在上为增函数，
所以由，得，解得，
所以的取值范围为.
20．设函数的图象过点.
(1)若，，求的最小值；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)8
(2)答案见解析
【分析】（1）利用基本不等式计算即可；（2）含参讨论解不等式即可.
【详解】（1）由题意可知：，可得，
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，，，
所以当，时，等号成立，
此时取得最小值8；
（2）由上可知，得，
即，即.
当时，此时不等式为，故解集为；
当时，此时，故不等式的解集为；
当时，即，此时不等式为，
故不等式的解集为；
当时，即，故不等式的解集为；
当时，即，不等式的解集为.
综上所述：当时，解集为；当，解集为；
当，解集为；当时解集为；
当，解集为.
21．已知函数，，且恒成立.
(1)试比较与的大小，并说明理由；
(2)若，且恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由二次不等式恒成立，有，得到，作差法比较与的大小即可；
（2）由题意，恒成立，当时，不等式恒成立，当时，转化为恒成立，求的取值范围即可.
【详解】（1）因为恒成立，即恒成立，
所以，即，所以，
则，所以.
（2）若，且恒成立，，即恒成立，
因为，所以当时，不等式恒成立，
当时，恒成立，
令，则，则在上恒成立，
由，有，则，得，
所以，即实数的最小值为.
22．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明你的结论；
(3)设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上是增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）由，，解方程求出，即可求出的解析式；
（2）在上是增函数，由单调性的定义证明即可；
（3）由题意可得存在，使得成立，求出代入分离常数可得且，分别求出和，即可得出答案.
【详解】（1）由在上是奇函数，所以，则，
则，由，得，
所以，经检验，符合题意.
（2）在上是增函数，证明如下：
设，且，则，
又，所以，因为，，所以，
所以，则，故在上是增函数.
（3）存在，使得成立，
即存在，使得成立，
即，
因为，
所以存在，使得成立，
存在，使得，
即，且，
即且，
当时，，，即且，
解得.