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2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定，再计算交集得到答案.
【详解】，，，故.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：C
3．若是幂函数，且在上单调递增，则m的值为（ ）
A．―1或2B．1或―2C．1D．―1
【答案】D
【分析】由幂函数的定义求m的值，然后验证函数的单调性即可得答案.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或2，
当时，，在上单调递增，满足题意；
当时，，在上不单调，不满足题意；
故选：D.
4．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求出，从而得到的值.
【详解】由表格可得，故.
故选：B
5．函数的图像大致为：（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先得到函数为偶函数，排除BD；再计算出，排除C，得到答案.
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，排除BD，
，故，
显然C选项不满足此要求，舍去，A选项满足
故选：A
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数和指数函数的单调性确定，，得到大小关系.
【详解】，且，，
故.
故选：C.
7．已知在定义域内单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的单调性即可求解.
【详解】由分段函数中当时，，对称轴为，
因为函数在定义域内单调，则函数在上单调递增且.
当时，为单调递增函数，则，即，
要使函数在上单调递增，则满足，解得，综上，.
故选：B
8．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构建，可得在上单调递减，根据题意结合单调性解不等式.
【详解】∵，即，
构建，
可知当时，则，故在上单调递减，
又∵，即，且，
则，解得，
故不等式的解集为.
故选：C.
二、多选题
9．已知集合，，下列四个对应关系能构成从A到B的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】依次计算函数对应的值域的集合，根据是否为集合的子集得到答案.
【详解】对选项A：，，对应的值域集合为，正确；
对选项B：，，对应的值域集合为，正确；
对选项C：，，对应的值域集合为，正确；
对选项D：，，对应的值域集合为，错误；
故选：ABC
10．已知a、b均为正实数，则下列选项正确的是：（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则的最大值为D．若，则最大值为
【答案】BC
【分析】举例即可判断A；利用不等式的性质即可判断B；利用基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所有，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当，即时取等号，
又都是正数，故取不到等号，
所以，故D错误.
故选：BC.
11．已知定义在上的函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小值为5
B．函数在定义域内单调递增
C．若函数，则的值域是
D．若函数，则的值域为
【答案】AC
【分析】根据二次函数的单调性判断AB，根据均值不等式判断C，换元后利用二次函数判断D.
【详解】函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递增，故函数无最小值，故A错误B正确；
因为，当且仅当，即时等号成立，故的值域是，故C错误；
函数，令，则，
二次函数对称轴，所以在上单调递增，故，所以的值域为，故D正确.
故选：AC
12．设函数，，若，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理以及，可得，进而可判断ABC,根据基本不等式即可判断D.
【详解】由于函数均为定义域内的单调递增函数，故和均为定义域内的单调递增函数，
，故存在，
，故存在，
由于，
可得，且
由于，所以，故A正确，
由于，所以，故B错误，C正确，
由于，
所以，
由于，所以，故，当且仅当，即时等号成立，但，这与矛盾，故等号取不到，所以，故D错误，
故选:AC
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足：，解得且.
故答案为：
14．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性得到在上单调递增，得到答案.
【详解】设，函数在上单调递增，
函数在单调递增，故在上单调递增，故.
故答案为：.
15．已知函数，则的解集为 ．
【答案】
【分析】考虑和两种情况，根据指数函数单调性解不等式即可.
【详解】当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述：.
故答案为：
16．已知定义在的不恒为0的函数，对于任意正实数满足，且时，若正实数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】/0.8
【分析】根据函数单调性的定义可判断为上的单调递减函数，进而可得，由不等式即可求解.
【详解】设，则，且，
故，故，
由于，所以，
因此为上的单调递减函数，
由得，故，
，
当且仅当，即时等号成立，故最小值
故答案为：
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据分数指数幂和根式的运算可得；
（2）根据对数的运算和换底公式可得.
【详解】（1）
（2）
18．已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)在①，②是的充分条件，③中任选一个作为已知，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解出集合,满足，对集合分类讨论即可;
（2）选择①②③都可得出,利用子集得出实数m的取值范围.
【详解】（1）由题意可得：，解得，即，
，对集合分类讨论如下：
当时，即时，解得：，此时成立;
当时，即时，解得：.
综上所述，m的取值范围为．
（2）选择①②③都可得出，此时，解得．
所以m的取值范围为．
19．是定义在R上的奇函数，且当时，
(1)求在其定义域上的解析式，并直接指出的单调性（无需证明）；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，在R上单调递增
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义求函数解析式，再根据指数函数单调性结合奇函数性质判断的单调性；
（2）根据奇函数的定义结合函数单调性可得，进而结合指数函数性质运算求解.
【详解】（1）当时，则，可知，
因为是定义在R上的奇函数，可得，
所以，
因为当时，单调递增，
由奇函数性质可知：当时，单调递增，
且连续不断，所以在R上单调递增．
（2）若，
因为是奇函数，则，
又因为在R上单调递增，则，
整理得，解得，则，
所以不等式的解集解集为．
20．2023年8月，我国各地因暴雨导致洪涝灾害频发，河北省受灾尤其严重，为了支援赈灾，哈三中文创公司进行赈灾义卖，右图为这次义卖的三中金属书签，单件成本为8元．经过市场调查，该书签的销量n（件）与单件售价x（元）之间满足：单件售价不低于8元，且n与成反比，且当售价为14元时，销量为200件，已知总利润y（元）的计算方式为：总利润＝销量×（单件售价一单件成本）
(1)求总利润y与单件售价x之间的关系式；
(2)求出总利润y的最大值，以及此时单件售价x的值．
【答案】(1)，
(2)定价元时，y有最大值1250元
【分析】（1）设，代入数据得到，计算得到答案.
（2）设，则，考虑和两种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】（1）n与成反比，设，
且时，，代入得，，
则，.
（2）设，则，，则，
①时，，
②时，，，则，
当且仅当，即时等号成立，
综上所述：定价时，y有最大值1250．
21．已知函数
(1)解关于x的不等式．
(2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）考虑，和三种情况，解得，即，解不等式得到答案.
（2）确定，令，，根据函数的单调性计算值域得到答案.
【详解】（1），
当时，解集为；
当时，，当，即时，对应方程的解为，
①当时，解集为；
②时，解集为；
③时，解集为；
④时，解集为.
综上所述：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）的解集为，故，则，，
则，令，则，
.
在上单调递减，在上单调递增，
故，，
，，故.
22．设函数，，．
(1)若的解集为，判断的单调性并用单调性定义加以证明；
(2)设函数（其中），若，总，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）变换得到的解集为，确定得到，设，计算得到证明；
（2）确定，计算函数的最大值为，设，转化为在上最大值与最小值之差小于3，设，讨论根据二次函数对称轴的范围计算函数最值得到答案.
【详解】（1），两边同乘，得的解集为，
设，则的解集为，
故是的一个解，则，即．
，，，
，
，，则，，则，
，，故在上单调递增．
（2）在上，的最大值与最小值之差小于的最大值．
，设，，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数的最大值为，故在上的最大值为，
，
可变形为，
可设，，随x增大而增大，则，
则要求在上最大值与最小值之差小于3，
而，
，，，
需分四类情况讨论：
①时，最小值为，最大值为，
则要求，即，，此时；
②时，最小值为，最大值为，
则要求，即，，
此时；
③时，最小值为，最大值为，
则要求，即，，此时；
④时，最小值为，最大值为，
则要求，即，，此时．
综上所述：m取值范围为
1
2
3
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定，再计算交集得到答案.
【详解】，，，故.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：C
3．若是幂函数，且在上单调递增，则m的值为（ ）
A．―1或2B．1或―2C．1D．―1
【答案】D
【分析】由幂函数的定义求m的值，然后验证函数的单调性即可得答案.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或2，
当时，，在上单调递增，满足题意；
当时，，在上不单调，不满足题意；
故选：D.
4．中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先求出，从而得到的值.
【详解】由表格可得，故.
故选：B
5．函数的图像大致为：（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先得到函数为偶函数，排除BD；再计算出，排除C，得到答案.
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，排除BD，
，故，
显然C选项不满足此要求，舍去，A选项满足
故选：A
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数和指数函数的单调性确定，，得到大小关系.
【详解】，且，，
故.
故选：C.
7．已知在定义域内单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的单调性即可求解.
【详解】由分段函数中当时，，对称轴为，
因为函数在定义域内单调，则函数在上单调递增且.
当时，为单调递增函数，则，即，
要使函数在上单调递增，则满足，解得，综上，.
故选：B
8．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构建，可得在上单调递减，根据题意结合单调性解不等式.
【详解】∵，即，
构建，
可知当时，则，故在上单调递减，
又∵，即，且，
则，解得，
故不等式的解集为.
故选：C.
二、多选题
9．已知集合，，下列四个对应关系能构成从A到B的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】依次计算函数对应的值域的集合，根据是否为集合的子集得到答案.
【详解】对选项A：，，对应的值域集合为，正确；
对选项B：，，对应的值域集合为，正确；
对选项C：，，对应的值域集合为，正确；
对选项D：，，对应的值域集合为，错误；
故选：ABC
10．已知a、b均为正实数，则下列选项正确的是：（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则的最大值为D．若，则最大值为
【答案】BC
【分析】举例即可判断A；利用不等式的性质即可判断B；利用基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所有，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当，即时取等号，
又都是正数，故取不到等号，
所以，故D错误.
故选：BC.
11．已知定义在上的函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小值为5
B．函数在定义域内单调递增
C．若函数，则的值域是
D．若函数，则的值域为
【答案】AC
【分析】根据二次函数的单调性判断AB，根据均值不等式判断C，换元后利用二次函数判断D.
【详解】函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递增，故函数无最小值，故A错误B正确；
因为，当且仅当，即时等号成立，故的值域是，故C错误；
函数，令，则，
二次函数对称轴，所以在上单调递增，故，所以的值域为，故D正确.
故选：AC
12．设函数，，若，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理以及，可得，进而可判断ABC,根据基本不等式即可判断D.
【详解】由于函数均为定义域内的单调递增函数，故和均为定义域内的单调递增函数，
，故存在，
，故存在，
由于，
可得，且
由于，所以，故A正确，
由于，所以，故B错误，C正确，
由于，
所以，
由于，所以，故，当且仅当，即时等号成立，但，这与矛盾，故等号取不到，所以，故D错误，
故选:AC
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足：，解得且.
故答案为：
14．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性得到在上单调递增，得到答案.
【详解】设，函数在上单调递增，
函数在单调递增，故在上单调递增，故.
故答案为：.
15．已知函数，则的解集为 ．
【答案】
【分析】考虑和两种情况，根据指数函数单调性解不等式即可.
【详解】当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述：.
故答案为：
16．已知定义在的不恒为0的函数，对于任意正实数满足，且时，若正实数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】/0.8
【分析】根据函数单调性的定义可判断为上的单调递减函数，进而可得，由不等式即可求解.
【详解】设，则，且，
故，故，
由于，所以，
因此为上的单调递减函数，
由得，故，
，
当且仅当，即时等号成立，故最小值
故答案为：
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据分数指数幂和根式的运算可得；
（2）根据对数的运算和换底公式可得.
【详解】（1）
（2）
18．已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)在①，②是的充分条件，③中任选一个作为已知，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解出集合,满足，对集合分类讨论即可;
（2）选择①②③都可得出,利用子集得出实数m的取值范围.
【详解】（1）由题意可得：，解得，即，
，对集合分类讨论如下：
当时，即时，解得：，此时成立;
当时，即时，解得：.
综上所述，m的取值范围为．
（2）选择①②③都可得出，此时，解得．
所以m的取值范围为．
19．是定义在R上的奇函数，且当时，
(1)求在其定义域上的解析式，并直接指出的单调性（无需证明）；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，在R上单调递增
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义求函数解析式，再根据指数函数单调性结合奇函数性质判断的单调性；
（2）根据奇函数的定义结合函数单调性可得，进而结合指数函数性质运算求解.
【详解】（1）当时，则，可知，
因为是定义在R上的奇函数，可得，
所以，
因为当时，单调递增，
由奇函数性质可知：当时，单调递增，
且连续不断，所以在R上单调递增．
（2）若，
因为是奇函数，则，
又因为在R上单调递增，则，
整理得，解得，则，
所以不等式的解集解集为．
20．2023年8月，我国各地因暴雨导致洪涝灾害频发，河北省受灾尤其严重，为了支援赈灾，哈三中文创公司进行赈灾义卖，右图为这次义卖的三中金属书签，单件成本为8元．经过市场调查，该书签的销量n（件）与单件售价x（元）之间满足：单件售价不低于8元，且n与成反比，且当售价为14元时，销量为200件，已知总利润y（元）的计算方式为：总利润＝销量×（单件售价一单件成本）
(1)求总利润y与单件售价x之间的关系式；
(2)求出总利润y的最大值，以及此时单件售价x的值．
【答案】(1)，
(2)定价元时，y有最大值1250元
【分析】（1）设，代入数据得到，计算得到答案.
（2）设，则，考虑和两种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】（1）n与成反比，设，
且时，，代入得，，
则，.
（2）设，则，，则，
①时，，
②时，，，则，
当且仅当，即时等号成立，
综上所述：定价时，y有最大值1250．
21．已知函数
(1)解关于x的不等式．
(2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）考虑，和三种情况，解得，即，解不等式得到答案.
（2）确定，令，，根据函数的单调性计算值域得到答案.
【详解】（1），
当时，解集为；
当时，，当，即时，对应方程的解为，
①当时，解集为；
②时，解集为；
③时，解集为；
④时，解集为.
综上所述：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）的解集为，故，则，，
则，令，则，
.
在上单调递减，在上单调递增，
故，，
，，故.
22．设函数，，．
(1)若的解集为，判断的单调性并用单调性定义加以证明；
(2)设函数（其中），若，总，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）变换得到的解集为，确定得到，设，计算得到证明；
（2）确定，计算函数的最大值为，设，转化为在上最大值与最小值之差小于3，设，讨论根据二次函数对称轴的范围计算函数最值得到答案.
【详解】（1），两边同乘，得的解集为，
设，则的解集为，
故是的一个解，则，即．
，，，
，
，，则，，则，
，，故在上单调递增．
（2）在上，的最大值与最小值之差小于的最大值．
，设，，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数的最大值为，故在上的最大值为，
，
可变形为，
可设，，随x增大而增大，则，
则要求在上最大值与最小值之差小于3，
而，
，，，
需分四类情况讨论：
①时，最小值为，最大值为，
则要求，即，，此时；
②时，最小值为，最大值为，
则要求，即，，
此时；
③时，最小值为，最大值为，
则要求，即，，此时；
④时，最小值为，最大值为，
则要求，即，，此时．
综上所述：m取值范围为
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