2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.
【详解】由题意得，集合．所以，B错误；
由于空集是任何集合的子集，所以A正确；
因为，所以C、D中说法正确．
故选：B．
2．“”的一个必要不充分条件为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合关系判定充分必要条件即可.
【详解】显然A项是充要条件，不符合题意；
由“”可推出“”，即B项是充分条件，不符合题意；
“”不能推出“”，反之“”也推不出“”，即C项为既不充分也不必要条件，不符合题意；
易知真包含于，所以“”的一个必要不充分条件为“”，
故选：D．
3．已知，则的最小值是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】已知，则，，
当且仅当，即时“”成立，故所求最小值是16.
故选：D．
4．若，，则、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】将、两边平方，即可得到，从而得解.
【详解】，，
，，
，
，
，
，
，
.
故选：C．
5．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】根据同一函数的概念求解判断.
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B中，函数和的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以是同一函数.
故选：D.
6．已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合二次函数的单调性与奇函数的性质，可推出在，上单调递增，从而得，解之即可.
【详解】当时，，由二次函数的单调性可知在，上单调递增，
又因为是定义在上的奇函数，所以在，上单调递增，
综上，在，上单调递增，
又函数在区间，上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，.
故选：C.
7．若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】首先不等式等价于，再讨论的取值，根据解集中有2个整数，即可求解.
【详解】不等式，等价于，
当，即时，不等式的解集为，
若集合中有2个整数，则，得；
若，即时，不等式的解集为，
若集合中有2个整数，则，得；
当，即时，不等式的解集为，不成立；
所以实数m的取值范围是或.
故选：C
8．已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围.
【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，,
当时，，在上单调递减，
在上单调递增，所以在处取得最小值
当时，，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
当时，，在上单调递减， 于题意不符；
当时，，在上单调递减， 于题意不符；
.
故选：C.
二、多选题
9．下列命题中是真命题的是（ ）
A．“且”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“关于x的不等式（）的解集为空集”的充要条件
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据充分与必要条件的定义，结合不等式的解法及函数的单调性逐个判断即可.
【详解】对于A：且，但由不能推出且，
“且”是“”的充分不必要条件，故A是假命题；
对于B：，而由推不出，
“”是“”的充分不必要条件，故B是真命题；
对于C：的解集为空集，则且，而由且可知，的解集为空集，故C是假命题；
对于D，其对应函数为，是单调递减函数，则D显然成立．
故选：BD．
10．已知，则下列不等式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用作差比较法与不等式的性质逐一判断即可.
【详解】在两边同除以负数得，即，与A项矛盾.
由，，得，与B项矛盾.
由，，，
故不一定小于0，故C不正确.
由得，又，两式相乘得，
两边同除以负数，可得，故D正确.
故选：ABC.
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的选项是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AD
【分析】由一元二次不等式的解法得关系，对选项逐一判断，
【详解】由的解集为或得，
故；故A正确；
，故B错误；
，故D正确，
对于选项C：为，
因为，可得，解得，
所以不等式的解集为，故C错误.
故选：AD.
12．已知函数的图象关于对称，且对，，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BCD
【分析】根据题意，得到函数为偶函数，且在上为单调递增函数，把不等式转化为对任意恒成立，当时，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，可得函数为偶函数，
又因为当，且时，成立，
所以函数在上为单调递增函数，
由对任意恒成立，所以对任意恒成立，
当时，恒成立；
当时，，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即实数的取值范围为，
结合选项，BCD项符合题意.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知函数，则的单调增区间为
【答案】（开闭都对）
【分析】将函数改写成分段函数，再画出函数图象，结合函数图象即可判断；
【详解】解：因为函数，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知，函数的单调递增区间为；
故答案为：（开闭都对）
14．集合，，且，则实数可取值组成的集合为
【答案】
【分析】确定，，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】，，则，
当时，，满足条件；
当时，，，则或，解得或.
综上所述：.
故答案为：.
15．有“中欧骏泰”，“永赢货币”两种理财产品，投资这两种理财产品所能获得的年利润分别是和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验方程式：，今有5万元资金投资到这两种理财产品，可获得的最大年利润是 万元.
【答案】1.2/
【分析】根据已知条件，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】设“中欧骏泰”，“永赢货币”两种理财产品的投入资金分别为万元，万元，
利润为万元，则，
，当时，最大年利润是万元
故答案为：．
16．已知，则
【答案】/
【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以
故答案为：
四、解答题
17．对下列式子化简求值
(1)求值：;
(2)已知（且）,求的值.
【答案】(1)28
(2)
【分析】(1)根据指数运算进行化简求值;
(2)对原式进行平方化简得到之后,再平方可得到,化简即可.
【详解】（1）解:原式
.
（2）解:,
,
,
.
18．（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）令，求出、的值，即可得到，再利用不等式的性质计算可得；
（2）由，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）令，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，即，
所以的取值范围为.
（2）因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
19．已知函数的图像过点．
(1)求实数m的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
【答案】(1)
(2)在区间上单调递增，证明见解析
【分析】（1）将代入解析式，得到m的值；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.
【详解】（1）将点代入函数中，可得，解得．
（2）单调递增，证明如下．
由（1）可得，
任取，则
，因为，
则，，，即，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
20．已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；
（2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案.
【详解】（1）解：设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因函数是定义在上的奇函数，可得，
所以函数在上的解析式为.
（2）解：作出函数的图象，如图所示，
由函数图象可知，在上单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
21．已知二次函数（，，为实数）．
(1)若的解集为，求不等式的解集；
(2)若不等式对任意恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合一元二次不等式的解集得到与的关系，从而解不等式即可求出结果；
（2）由题意可得，分、讨论进而结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为的解集为，所以是方程的两个根，
所以，且，，可得，，
所以，解得，
所以不等式的解集为；
（2）为二次函数，所以，
由得对任意恒成立，
可得，即，可得，
当时，，；
当，设，则，
则
，
当且仅当即且时等号成立，
所以的最大值为.
22．已知函数，集合
(1)当时，求函数的最大值；
(2)记集合，若是的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出对称轴，再讨论区间与对称轴的关系，即可求解．
（2）先得到，再分和，分别列出不等式组，求解即可．
【详解】（1），，对称轴为，
当时，在上单调递减，，
当时，在,上单调递增，在,上单调递减，，
当时，在,上单调递增，，
综上所述：．
（2）是的充分条件，
①当时，，解得，
②当时，由题意得方程，即在,上有两个实根，
令，则，解得，
综上所述：实数的取值范围是．
23．我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．
(1)试求关于的函数；
(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
【答案】(1)
(2)立方米
(3)元
【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解.
【详解】（1）因为某户该月用水立方米，
按收费标准可知，当时，；
当时，；
当时，．
所以
（2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，
所以， 解得．
所以该月的用水量为立方米．
（3）因为，
所以．
当时，，此时．
所以此时两户一共需要支付的水费是元．